Équation racine carrée et polynôme

Ce n'est pas difficile de montrer qu'il n'y a qu'une solution.

On écrit $(P(x)-1)(P(x)+1)=x(x+1)\dots(x+n)$ d'où $P(x)-\varepsilon=x\displaystyle\prod_{i\in I}(x+i)$ et $P(x)+\varepsilon=\displaystyle\prod_{i\notin I}(x+i)$ avec $\varepsilon=\pm1$ et $I\subset 1,n$.

On en déduit $P(0)=\varepsilon$ puis $2\varepsilon=\displaystyle\prod_{i\notin I}i$ d'où la seule solution avec $n=3$.

C'est parce que $2\varepsilon=\displaystyle\prod_{i\notin I}i$ donne $\varepsilon=1$ et les entiers $1$ et $2$ pour $i\notin I$, d'où $P(x)+1=(x+1)(x+2)$