Intégrale sur bord de carré infini

En suivant votre conseil, étudions $|e^z-1|$ pour $z\in \partial \square _N$ avec $N=2(2k+1)\pi$.
On a $|e^z-1|\geq |e^z|-1$ donc on regarde $|e^z|$.
Si $z$ appartient au côté droit du carré on a $z=(2k+1)\pi+iy$ avec $y\in [-(2k+1)\pi,(2k+1)\pi]$.
Vu que $|e^{x+iy}|=|e^x|$ on a $|e^z|=e^{(2k+1)\pi}$.
En particulier on remarque que $|e^z|$ ne dépend pas de la hauteur sur laquelle se trouve $y$ sur le côté droit du carré.

Regardons maintenant pour le côté haut du carré. On a alors $z=x+i(2k+1)\pi$ avec $x\in [-(2k+1)\pi,(2k+1)\pi]$.
On a $|e^z|=|e^x|\geq e^{-(2k+1)\pi}$ par croissance de l'exponentielle.
En fait, on voit qu'en regardant sur tous les côtés du carré, on a $|e^z|\geq e^{-(2k+1)\pi}$ d'où une minoration pour $|e^z-1$.

Maintenant pour continuer avec le théorème des résidus je n'ai pas compris là où vous vouliez en venir.

Bonjour Corto désolé pur la réponse tardive mais ma connexion internet a été coupée toute la journée hier.
J'ai regardé une correction que j'avais en fait de cet exercice et j'ai trouvé comment montrer que $\left| \frac{1}{1-e^w} \right|< 2$ mais cette fois sur le bord du carré $\square _N=\left \{ z=x+iy\in \mathbb{C}:|x|,|y|<2\pi N+\pi \right \}$ comme ça pas de problème de domaine et ça facilite l'exercice. En effet il fallait passer par l'argument pour en haut et en bas.

Maintenant j'ai juste une toute dernière question. Est-ce que l'on sait facilement que $\lim_{N\to \infty }\max_{w\in \partial \square _N}\left| \frac{1}{w^4} \right|=0$? Est-ce que c'est parce que peut importe où $w$ est situé sur $\partial \square _N$ on a $\lim_{N\to \infty }\left| \frac{1}{w^4} \right|=0$?
Merci pour votre aide.

Merci beaucoup.

Oui je vois Corto je pense que l'argument ressemble au fait que si $w\in \partial \square _N$ alors par exemple $w$ s'écrit comme $w=2\pi N+\pi +iy$ avec $y\in [-(2\pi N+\pi),2\pi N+\pi]$ et dans ce cas on a cette fois par l'estimation standard que $$\left| \int_{\partial \square _N}f(z)dz \right| \leq \max_{z\in \partial \square _N}|f(z)|\ L(\partial \square _N)=2(2\pi N+\pi)\ \max_{z\in \partial \square _N}\left| \frac{1}{z^4(1-e^z)}\right|<4(2\pi N+\pi)\ \max_{w\in \partial \square _N}\left| \frac{1}{w^4} \right|$$
Mais on a que $4(2\pi N+\pi)\ \max_{w\in \partial \square _N}\left| \frac{1}{w^4} \right|=4(2\pi N+\pi)\ \frac{1}{|2\pi N+\pi +iy|^4}$ qui tend vers $0$ lorsque $N\to \infty$ et ceci $\forall y\in [-(2\pi N+\pi),2\pi N+\pi]$.