Équivalent
Bonsoir
Je fais des mathématiques seul pour le plaisir et j'aimerais bien atteindre un niveau fin de lycée ou peut-être licence (1-2). Pouvez-vous me dire s'il y a un lien entre la relation $\leq$ et le symbole équivalent. J'ai vraiment le sentiment que majorer une suite par exemple c'est chercher en réalité un équivalent ? Je vous donne un exemple.
$\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}$ d'abord en appliquant le conjugué puis finalement elle peut être majorée par $\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}.$
L'équivalent de la suite c'est $\frac{1}{\sqrt{n}}$ ?
Merci.
Je fais des mathématiques seul pour le plaisir et j'aimerais bien atteindre un niveau fin de lycée ou peut-être licence (1-2). Pouvez-vous me dire s'il y a un lien entre la relation $\leq$ et le symbole équivalent. J'ai vraiment le sentiment que majorer une suite par exemple c'est chercher en réalité un équivalent ? Je vous donne un exemple.
$\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}$ d'abord en appliquant le conjugué puis finalement elle peut être majorée par $\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}.$
L'équivalent de la suite c'est $\frac{1}{\sqrt{n}}$ ?
Merci.
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Réponses
Tu peux utiliser un encadrement, si $v_n\leq u_n\leq w_n$ pour tout $n$ assez grand ET la suite $v$ converge vers $a$ ET la suite $w$ converge vers $a$, alors la suite $u$ converge vers $a.$
Pour l’équivalent, si $a=1$, alors $u$ converge vers $1.$
Tu utilises donc la rapport de ta suite à ce que tu penses être l’équivalent pour $u.$
Exemple : considère la suite de terme général $u_n = n(1+\sin n)$. La majoration $u_n \leq 2n$ est évidente (et en un sens optimale), par contre je te laisse chercher un équivalent de la suite $u_n$ autre que $u_n + o(n)$ (il y en a mais c'est tiré par les cheveux).
Pour parler d'un sujet de recherche, on sait majorer le nombre $\pi_2(x)$ de nombres premiers jumeaux plus petits que $x$, mais on est incapable à l'heure actuelle d'en donner un équivalent en termes des fonctions usuelles (bien sûr on conjecture un équivalent de la forme $C \frac{x}{(\log x)^2}$ avec $C$ une constante.
Un équivalent c'est quelque chose de bien plus précis qu'une majoration ET une minoration à la fois.
> Exemple : considère la suite de terme général $u_n = n(1+\sin n)$.
https://math.stackexchange.com/questions/2296656/calculate-lim-n-to-infty-n1-sinn