$f$ pôle $\implies$ non nul dans voisinage

Code_Name · June 2020

Bonjour. Je veux montrer que si $f$ a un pôle en $p\in \mathbb{C}$ alors il existe $r>0$ tel que $f(z)\neq 0$ pour $0<|z-p|<r$.

Je vous donne ma méthode pour savoir si elle est juste car elle diffère et est plus courte de mon corrigé que je n'ai pas compris.

Si $f$ a un pôle d'ordre $k$ en $z=p\in \mathbb{C}$ alors on a $\lim_{z\to p}(z-p)^kf(z)\neq 0 \implies \lim_{z\to p}f(z)\neq 0$.
Or, par l'absurde, on a que si $\forall r>0$ on $f(z)=0$ pour $0<|z-p|<r$ alors par définition de la limite on a $\lim_{z\to p}f(z)= 0$ qui est une contradiction, qu'en pensez vous?

Poirot · June 2020

Ton argument est incorrect pour deux raisons. Tout d'abord ça n'a pas de sens d'écrire $\lim_{z \to p} f(z) \neq 0$ car $f$ n'admet pas de limite en $p$. Mais le plus grave, c'est que ce que tu supposes par l'absurde est beaucoup plus fort que la négation de ton énoncé. Tu supposes que $f$ s'annule sur tout voisinage de $p$, alors que la négation de ton énoncé est que dans tout voisinage de $p$, $f$ admet un zéro dans ce voisinage.

Tu devrais plutôt montrer que la fonction $z \mapsto (z-p)^kf(z)$ ne s'annule pas sur un certain voisinage de $p$.

Code_Name · June 2020

Ah oui en effet merci pour la clarification. Donc je vais montrer que la fonction $g(z):=z \mapsto (z-p)^kf(z)$ ne s'annule pas sur un certain voisinage de $p$.
En d'autre terme que $\exists r>0$ t.q. $\forall z$ t.q. $0<|z-p|<r$ on a $g(z)\neq 0$.
Ici nous avons comme hypothèse que $\lim_{z\to p}(z-p)^kf(z)\neq 0$ donc on note ici $l$ sa limite qui existe t.q. $l\neq 0$.

Par l'absurde, supposons que $\forall r>0, \exists z_1$ t.q. $0<|z_1-p|<r$ on a $g(z_1)=0$. (condition 1)

Aussi, $\lim_{z\to p}(z-p)^kf(z)=l\neq 0 \iff \forall \varepsilon >0, \exists \delta >0$ t.q. $\forall z$ t.q. $0<|z-p|<\delta \implies |g(z)-l|<\varepsilon$. (condition 2)

Mais le problème est que on a au dessus $\forall r>0$...(condition 1) donc en particulier pour $\varepsilon>0$ fixé, on a pour $r:=\delta >0$ et $0<|z_1-p|<\delta$ que $g(z_1)=0$ par la condition 1 et que en même temps $|g(z_1)-l|<\varepsilon$ par la condition 2.
C-a-d que $|l|<\varepsilon \ \forall \varepsilon >0$ ce qui implique que $l=0$ donc une contradiction.

Poirot · June 2020

(tu)

En peu de mots : la fonction $g$ se prolonge par continuité en $p$, avec $g(p) \neq 0$. Par continuité, on a $g(z) \neq 0$ pour tout $z$ dans un voisinage de $p$.

Code_Name · June 2020

En effet je vois merci beaucoup.

$f$ pôle $\implies$ non nul dans voisinage

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