Calcul d'une intégrale

Tu connais un peu d'analyse complexe? Si oui, il suffit d'appliquer le théorème des résidus sur un demi-cercle (s'appuyant sur l'axe réel) centré en $0$ dont le rayon tend vers l'infini.

C'est une question qui revient régulièrement sur le forum.
La dernière fois c'était il y a moins de deux mois : Calcul d'une intégrale

Bonjour,

Chaurien, ma compagne m'a demandé l'origine de l'expression "un marronnier" pour désigner un sujet récurrent.
As tu une idée ?

Cordialement,

Rescassol

J'ai une question à propos d'une solution que propose Fin de partie dans la discussion indiquée par jandri. Il suggère d'utiliser la fonction $F:\R_+\to\R$ définie par
\[\forall x\in\R_+,\quad F(x)=\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(at)\text{e}^{-tx}}{1+t^2}dt.\]
Ce n'est pas la première fois que je vois cette suggestion, mais je n'arrive pas à voir comment l'utiliser. Il me semble que la fonction $F$ est de classe $\mathcal{C}^2$ et vérifie l'équation différentielle
\[\forall x\in\R_+^\ast,\quad F''(x)+F(x)=\dfrac{x}{x^2+a^2}.\]
Cependant, il ne me parait pas simple de déterminer une solution particulière de cette dernière.