Famille sommable

Jota · June 2020

Salut, j'ai eu des difficultés à résoudre l'exercice suivant.

Soient $a$ et $b$ deux nombres tels que $a > 1 , b > 1$, montrer que la famille $\ \Big(\dfrac{1}{a^m + b^n} \Big)_{(m, n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}}$ est sommable.

Merci d'avance.

Chaurien · June 2020

Questons rituelles : à quel niveau te places-tu ? MP ? Quelle est la définition d'une famille sommable dont tu disposes ? Qu'as-tu essayé ?
Bon courage.
Fr. Ch.

Jota · June 2020

Salut, je fais licence cette année. J'ai utilisé la propriété suivante sans succèss: une famille de réels $(A_{i})_{i \in I}$ est dite sommable si et seulement si l'ensemble des sommes partielles finies de cette famille est bornée.

Poirot · June 2020

Connais-tu un résultat qui te permettrait de dire qu'il suffit de montrer que pour tout $a \in \mathbb N^*, \sum_b \frac{1}{a^m+b^n}$ converge et $\sum_a \left(\sum_{b=1}^{+\infty} \frac{1}{a^m+b^n}\right)$ converge ?

JLT · June 2020

Suggestion :

1) Se ramener au cas $a=b$.

2) Se ramener à montrer que $\sum_{m\leqslant n}\dfrac{1}{a^m+a^n} < \infty$.

3) Se ramener à montrer que $\sum_{m\leqslant n}\dfrac{1}{a^n} < \infty$.