Décomposition en éléments simples sur $\R$

Calcule les racines $1-x+x^2$ dans $\mathbb{C}$, factorise ton polynôme grâce à ces racines, ensuite pour la DES cela se fait comme sur $R$ mais il faudra que tu évalues sur ces racines complexes.

Je n'ai pas vu que tu voulais calculer une intégrale, dans ce cas, fait la DES dans $R$,on sait calculer les primitves de fonctions de la forme : $\frac{\alpha x + \beta}{ax^{2}+bx +c}$

Ensuite va falloir jouer avec $\frac{bX+c}{X^2-X+1}$ :-D
Ci dessous en blanc une piste pour cette primitive (ne lis que si u as cherché et pas trouvé):
$\frac{bX+c}{X^2-X+1} = \alpha\times \ln'(X^2-X+1)+ \frac{\beta}{X^2 -X +1}$
Puis une deuxième piste si la première ne suffit pas:
Écrire l'expression sous forme canonique et penser à la fonction $\arctan$

On s'en sort si on sait intégrer $x\mapsto \dfrac{2x-4}{x^2-x+1}$.
Pas terrible ce $4$ au numérateur...

Pas la peine de recourir à des pseudo-asuces de ce genre. Conserve $\frac{-x+2}{x^2-x+1}$ et travaille seulement sur le dénominateur : forme canonique et factorisation de la constante pour te ramener à $m((px+q)^2+1)$, qui te donne le changement de variable affine conduisant à un $\frac{At+B}{t^2+1}$.
Bon courage.
Fr. Ch.

Bonjour Gai requin

sachant que $x^2 - x + 1$ n'admet pas de zéro réel, ta fraction $\dfrac{1}{1+x^3}$ peut s'écrire : $\dfrac{1}{3(x+1)} - \dfrac{2x-4}{6(x^2 - x + 1)},$
que l'on sait primitiver à une constante additive près soit : $$

F(x) = \frac{1}{6}\ln\frac{(x+1)^2}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{6}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}.

$$ Nous vérifions que pour des bornes infinies l'intégrale converge.
Cordialement.