Décomposition en éléments simples sur $\R$
Bonsoir
J'ai besoin d'aide pour une décomposition en éléments simples, j'ai cette intégrale à calculer: entre 0 et 1, 1/1+x^3,
[Tu as écrit 1+x^3, peut-être voulais-tu écrire 1/(1+x^3) ?
j'ai d'abord écrit que 1+x^3 = (1+x)(1-x+x^2), je trouve des racines complexes pour le polynôme du second degré.
Après je ne vois pas comment mener à bien cette décomposition pour calculer l'intégrale.
J'ai besoin d'aide pour une décomposition en éléments simples, j'ai cette intégrale à calculer: entre 0 et 1, 1/1+x^3,
[Tu as écrit 1+x^3, peut-être voulais-tu écrire 1/(1+x^3) ?
j'ai d'abord écrit que 1+x^3 = (1+x)(1-x+x^2), je trouve des racines complexes pour le polynôme du second degré.
Après je ne vois pas comment mener à bien cette décomposition pour calculer l'intégrale.
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Réponses
Je n'ai pas vu que tu voulais calculer une intégrale, dans ce cas, fait la DES dans $R$,on sait calculer les primitves de fonctions de la forme : $\frac{\alpha x + \beta}{ax^{2}+bx +c}$
Ci dessous en blanc une piste pour cette primitive (ne lis que si u as cherché et pas trouvé):
$\frac{bX+c}{X^2-X+1} = \alpha\times \ln'(X^2-X+1)+ \frac{\beta}{X^2 -X +1}$
Puis une deuxième piste si la première ne suffit pas:
Écrire l'expression sous forme canonique et penser à la fonction $\arctan$
Pas terrible ce $4$ au numérateur...
Bon courage.
Fr. Ch.
sachant que $x^2 - x + 1$ n'admet pas de zéro réel, ta fraction $\dfrac{1}{1+x^3}$ peut s'écrire : $\dfrac{1}{3(x+1)} - \dfrac{2x-4}{6(x^2 - x + 1)},$
que l'on sait primitiver à une constante additive près soit : $$
F(x) = \frac{1}{6}\ln\frac{(x+1)^2}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{6}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}.
$$ Nous vérifions que pour des bornes infinies l'intégrale converge.
Cordialement.
J'espère qu'il saura retrouver ton résultat pour $F$...