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Décomposition en éléments simples sur $\R$

Envoyé par lorentz 
Décomposition en éléments simples sur $\R$
il y a cinq semaines
Bonsoir

J'ai besoin d'aide pour une décomposition en éléments simples, j'ai cette intégrale à calculer: entre 0 et 1, 1/1+x^3,
[Tu as écrit 1+x^3, peut-être voulais-tu écrire 1/(1+x^3) ?
j'ai d'abord écrit que 1+x^3 = (1+x)(1-x+x^2), je trouve des racines complexes pour le polynôme du second degré.
Après je ne vois pas comment mener à bien cette décomposition pour calculer l'intégrale.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Décomposition sur C
il y a cinq semaines
avatar
Calcule les racines $1-x+x^2$ dans $\mathbb{C}$, factorise ton polynôme grâce à ces racines, ensuite pour la DES cela se fait comme sur $R$ mais il faudra que tu évalues sur ces racines complexes.

Je n'ai pas vu que tu voulais calculer une intégrale, dans ce cas, fait la DES dans $R$,on sait calculer les primitves de fonctions de la forme : $\frac{\alpha x + \beta}{ax^{2}+bx +c}$



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Cere.
Re: Décomposition sur C
il y a cinq semaines
Il faut d'abord déterminer trois réels $a,b,c$ tels que, dans $\R(X)$,$$\frac 1{X^3+1}=\dfrac a{X+1}+\frac{bX+c}{X^2-X+1}.$$
Re: Décomposition sur C
il y a cinq semaines
avatar
Ensuite va falloir jouer avec $\frac{bX+c}{X^2-X+1}$ grinning smiley
Ci dessous en blanc une piste pour cette primitive (ne lis que si u as cherché et pas trouvé):
$\frac{bX+c}{X^2-X+1} = \alpha\times \ln'(X^2-X+1)+ \frac{\beta}{X^2 -X +1}$
Puis une deuxième piste si la première ne suffit pas:
Écrire l'expression sous forme canonique et penser à la fonction $\arctan$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Décomposition sur C
il y a cinq semaines
Merci pour le coup de pouce, je trouve a=1/3, b=-1/3, c=2/3, par contre il faut trouver une primitive pas facile, on ne peut pas le faire avec le log, enfin je ne pense pas.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Décomposition sur C
il y a cinq semaines
On s'en sort si on sait intégrer $x\mapsto \dfrac{2x-4}{x^2-x+1}$.
Pas terrible ce $4$ au numérateur...
Re: Décomposition en éléments simples sur C
il y a cinq semaines
avatar
J'ai mis deux indices en blanc sur mon post d'avant.
Re: Décomposition en éléments simples sur C
il y a cinq semaines
Pas la peine de recourir à des pseudo-asuces de ce genre. Conserve $\frac{-x+2}{x^2-x+1}$ et travaille seulement sur le dénominateur : forme canonique et factorisation de la constante pour te ramener à $m((px+q)^2+1)$, qui te donne le changement de variable affine conduisant à un $\frac{At+B}{t^2+1}$.
Bon courage.
Fr. Ch.
Décomposition en éléments simples sur $\R$
il y a cinq semaines
Et changer le titre du fil : la décomposition est sur $\mathbb R$.
Re: Décomposition en éléments simples sur $\R$
il y a cinq semaines
Bonjour Gai requin

sachant que $x^2 - x + 1$ n'admet pas de zéro réel, ta fraction $\dfrac{1}{1+x^3}$ peut s'écrire : $\dfrac{1}{3(x+1)} - \dfrac{2x-4}{6(x^2 - x + 1)},$
que l'on sait primitiver à une constante additive près soit : $$

F(x) = \frac{1}{6}\ln\frac{(x+1)^2}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{6}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}.

$$ Nous vérifions que pour des bornes infinies l'intégrale converge.
Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Décomposition en éléments simples sur $\R$
il y a cinq semaines
Merci Jean mais c'est lorentz qui a un problème avec cette intégrale.
J'espère qu'il saura retrouver ton résultat pour $F$...
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