Intégrale inégalité oral Centrale 2016
Bonjour
$f$ une fonction de $\R$ dans $\R$ de classe $C^2$ , $f(a)=f(b)$
Montrer que $$2\int_{a}^{b}f’^2 \leq \int_{a}^{b} f^2 + \int_{a}^{b} f’’^2.
$$ Merci.
Important cet énoncé n’est pas correct, un ancien taupin me l’a donné il a du oublié d’autres hypothèses.
Il faut ajouter $f(a)=f(b)=0$ sans cette condition l’inégalité est fausse
voir le contre exemple de Nawisman le 23ème message, et le calcul que j’ai fait voir le 28ème plus bas.
BobbyJoe a proposé une version qui a l’air juste voir le message 26 plus bas.
$f$ une fonction de $\R$ dans $\R$ de classe $C^2$ , $f(a)=f(b)$
Montrer que $$2\int_{a}^{b}f’^2 \leq \int_{a}^{b} f^2 + \int_{a}^{b} f’’^2.
$$ Merci.
Important cet énoncé n’est pas correct, un ancien taupin me l’a donné il a du oublié d’autres hypothèses.
Il faut ajouter $f(a)=f(b)=0$ sans cette condition l’inégalité est fausse
voir le contre exemple de Nawisman le 23ème message, et le calcul que j’ai fait voir le 28ème plus bas.
BobbyJoe a proposé une version qui a l’air juste voir le message 26 plus bas.
Réponses
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IPP, 2xy<x^2+y^2
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Séries de Fourier et Parseval puis inégalité $2xy\leq (x^2+y^2)$sur les coefficients de Fourier
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Intégration par parties et on suit la recommandation de Namiswan.
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Avec IPP il reste le terme $2f(a)(f’(b)-f’(a))$
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Etanche:
Ton énoncé est sûrement incorrect. -
\begin{align}f(x)&=x(1-x)\\
f^\prime(x)&=1-2x\\
f^{\prime\prime}(x)&=-2\\
2\int_0^1 {f^{\prime\prime}}^2(x)dx&=8\\
\int_0^1 {f^\prime(x)}^2\,dx&=\frac{1}{3}\\
\int_0^1 f^2(x)\,dx&=\frac{1}{30}\\
\end{align}
PS:
Ce n'est pas un contre-exemple, petite erreur d'inattention. -
On utilise la périodisée g de la restriction de f à$[a,b]$ de période b-a .elle est continue et $C^2$ par morceaux .
Puis comme je l'ai dit un peu rapidement ,formules de Parseval pour g,g' et g" .Et bien sûr l'inégalité $2xy\leq x^2+y^2$ sur les coefficients de Fourier. -
Etanche: je me suis un peu perdu dans les primes. Désolé.
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BobbyJoe:
Quand on procède à l'IPP, le terme tout intégré ne disparait pas. -
Effectivement le terme ne disparaît pas, je pensais contrôler le signe mais erreur...
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@ Fin de partie et OG j’avais le même soucis le terme intégré ne disparaît pas .
Du coup je me demande si c’est faisable sans Fourier -
Ça doit l'être...
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Je ne suis pas totalement convaincu par Fourier non plus, il faudrait les détails. A priori on a aussi besoin de conditions de bord supplémentaires pour relier proprement les coefficients de Fourier de $f$, $f'$ et $f''$.
J'attend de voir mais pour le moment je partage l'opinion de FDP sur l'erreur d'énoncé. (c'est certes plus facile d'arranger un énoncé qu'arranger une preuve (:P)) -
Je serais curieux de voir une preuve par les séries de Fourier.
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supp
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Une inégalité possible serait si : $X\sim\mathcal{U}([a,b])$ et pour $f\in \mathcal{C}^{2}([a,b],\mathbb{R})$ vérifiant $f(a)=f(b)=\mathbb{E}[f(X)]$ alors
$$2\mathbb{E}[f'^2(X)]\leq \mbox{Var}(f(X))+\mathbb{E}[f''^{2}(X)].$$
On peut alors supposer quitte à faire un changement d'échelle que $a=0$ et $b=1.$
Il vient alors par une IPP :
\begin{align*}
\int_{0}^{1}f'(t)^{2}dt & =\left[f(t)f'(t)\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}f(t)f''(t)dt\\
& = c(f'(1)-f'(0))-\int_{0}^{1}f(t)f''(t)dt\\
& =\int_{0}^{1}(c-f(t))f''(t)dt.
\end{align*}
L'inégalité de Cauchy-Schwarz et l'inégalité de Young sous sa forme : $\sqrt{xy}\leq \frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}),$ permettent de conclure à :
$$2\mathbb{E}[f'^2(X)]\leq \mbox{Var}(f(X))+\mathbb{E}[f''^{2}(X)].$$
L'inégalité finale étant invariante par translation, on a alors pour toute translatée $g$ de $f$
\begin{align*}
2\mathbb{E}[g'^2(X)] & =2\mathbb{E}[f'^2(X)]\\
& \leq \mbox{Var}(f(X))+\mathbb{E}[f''^{2}(X)]\\
& = \mbox{Var}(g(X))+\mathbb{E}[g''^{2}(X)]\\
& \leq \mathbb{E}[g^{2}(X)]+\mathbb{E}[g''^{2}(X)] \mbox{ par la définition de la variance.}
\end{align*} -
Pourquoi f(a)=f(b)=E(f(X))?
Rien ne dit que cette égalité est vraie. Et si elle est fausse, translater ne change rien. -
Le problème ne marche pas pour $f=\cos$, $a=-\frac{2\pi}{3}$, $b=\frac{2\pi}{3}$.
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L'inégalité suivante est néanmoins vraie : il existe des constantes absolues $\alpha,\beta>0$ telles que pour toute fonction $f\in \mathcal{C}^{2}([a,b],\mathbb{R})$ vérifiant $f(a)=f(b)$
$$\int_{a}^{b}f'^{2}(t)dt\leq \frac{\alpha}{(b-a)}\int_{a}^{b}f^{2}(t)dt+\beta(b-a)\int_{a}^{b}f''^{2}(t)dt.$$ -
Bonjour,
Avez-vous lu la démonstration de @side ?
Il montre l’inégalité pour une fonction $g$ de classe $C^2$ telle que $g(a)=g(b)=0.$
Puis il montre que l’inégalité pour une fonction $f$ de classe $C^2$ telle que $f(a)=f(b)$ est impliquée par cette même inégalité vérifiée par la fonction $t\leadsto f(t)-f(a).$ Or cette fonction vérifie les conditions d’une fonction $g.$
Il n’y a donc pas d’erreur d’énoncé. Sauf si cette démonstration est fausse.
@Namiswan : ton contre exemple n’en est pas un.
Êtes-vous en train de dire que l’inégalité est fausse ? Avez-vous un contre exemple ? -
@YvesM l’enoncé tel que je l’ai posté n’est pas juste, l’exemple de Nawisman le prouve
$a=-2\pi/3, b=2\pi/3$ , $f(x)=\cos(x)$.
$\displaystyle \int_{-2\pi/3}^{2\pi/3}f’^2=\frac{2\pi}{3} +\frac{\sqrt{3}}{4}$
$\displaystyle \int_{-2\pi/3}^{2\pi/3}f^2 =\int_{-2\pi/3}^{2\pi/3}f’’^2 =\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$
Si l’inégalité à prouver était juste on aurait $\ 4\pi/3 +\sqrt{3}/2 \leq 4\pi/3 - \sqrt{3}/2 $, ce qui est manifestement faux.
Donc je pense l’étudiant qui a passé son oral en 2016 a dû oublier des hypothèses.
La version de Bobby Joe est intéressante. -
Bonjour,
Merci. Je vais réviser mes formules trigo. Et ne pas confondre conditions nécessaires et suffisantes. -
De façon plus générale si $\cos a=\cos b$ et si $f=\cos $, $\int_a^b f''^2+\int_a^b f^2- 2\int_a^b f'^2 =\sin(2b)-\sin(2a)$, peut être de signe quelconque …
Clairement, j'avais été trop vite avec mon idée des séries de Fourier. -
Lale:
Clairement beaucoup de gens (et je m'inclus dedans) ont été trop vite aussi. -
Environ 4 preuves différentes, la plupart soutenues par d'autres participants, pour un résultat faux...ça fait beaucoup pour un forum de matheux :-D
-
https://math.stackexchange.com/questions/3710440/int-limits-11-f-2-leq-frac12-left-int-limits-1-1-f2-in
La question est à la mode. B-)- -
Dans math stackexchange il y a bien $f(a)=f(b)=0$ dans les hypothèses, c’est ce qu’il manquait quand j’ai posté l’exercice.
-
Je suis fatigué. Je n'avais pas vu le 0 à droite. :-D
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Bonjour!
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