Intégrale inégalité oral Centrale 2016
Bonjour
$f$ une fonction de $\R$ dans $\R$ de classe $C^2$ , $f(a)=f(b)$
Montrer que $$2\int_{a}^{b}f’^2 \leq \int_{a}^{b} f^2 + \int_{a}^{b} f’’^2.
$$ Merci.
Important cet énoncé n’est pas correct, un ancien taupin me l’a donné il a du oublié d’autres hypothèses.
Il faut ajouter $f(a)=f(b)=0$ sans cette condition l’inégalité est fausse
voir le contre exemple de Nawisman le 23ème message, et le calcul que j’ai fait voir le 28ème plus bas.
BobbyJoe a proposé une version qui a l’air juste voir le message 26 plus bas.
$f$ une fonction de $\R$ dans $\R$ de classe $C^2$ , $f(a)=f(b)$
Montrer que $$2\int_{a}^{b}f’^2 \leq \int_{a}^{b} f^2 + \int_{a}^{b} f’’^2.
$$ Merci.
Important cet énoncé n’est pas correct, un ancien taupin me l’a donné il a du oublié d’autres hypothèses.
Il faut ajouter $f(a)=f(b)=0$ sans cette condition l’inégalité est fausse
voir le contre exemple de Nawisman le 23ème message, et le calcul que j’ai fait voir le 28ème plus bas.
BobbyJoe a proposé une version qui a l’air juste voir le message 26 plus bas.
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Réponses
Ton énoncé est sûrement incorrect.
Il a peut-être oublié d’autres hypothèses.
As-tu un contre-exemple ?
Merci.
f^\prime(x)&=1-2x\\
f^{\prime\prime}(x)&=-2\\
2\int_0^1 {f^{\prime\prime}}^2(x)dx&=8\\
\int_0^1 {f^\prime(x)}^2\,dx&=\frac{1}{3}\\
\int_0^1 f^2(x)\,dx&=\frac{1}{30}\\
\end{align}
PS:
Ce n'est pas un contre-exemple, petite erreur d'inattention.
Puis comme je l'ai dit un peu rapidement ,formules de Parseval pour g,g' et g" .Et bien sûr l'inégalité $2xy\leq x^2+y^2$ sur les coefficients de Fourier.
Quand on procède à l'IPP, le terme tout intégré ne disparait pas.
Du coup je me demande si c’est faisable sans Fourier
J'attend de voir mais pour le moment je partage l'opinion de FDP sur l'erreur d'énoncé. (c'est certes plus facile d'arranger un énoncé qu'arranger une preuve (:P))
$$2\mathbb{E}[f'^2(X)]\leq \mbox{Var}(f(X))+\mathbb{E}[f''^{2}(X)].$$
On peut alors supposer quitte à faire un changement d'échelle que $a=0$ et $b=1.$
Il vient alors par une IPP :
\begin{align*}
\int_{0}^{1}f'(t)^{2}dt & =\left[f(t)f'(t)\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}f(t)f''(t)dt\\
& = c(f'(1)-f'(0))-\int_{0}^{1}f(t)f''(t)dt\\
& =\int_{0}^{1}(c-f(t))f''(t)dt.
\end{align*}
L'inégalité de Cauchy-Schwarz et l'inégalité de Young sous sa forme : $\sqrt{xy}\leq \frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}),$ permettent de conclure à :
$$2\mathbb{E}[f'^2(X)]\leq \mbox{Var}(f(X))+\mathbb{E}[f''^{2}(X)].$$
L'inégalité finale étant invariante par translation, on a alors pour toute translatée $g$ de $f$
\begin{align*}
2\mathbb{E}[g'^2(X)] & =2\mathbb{E}[f'^2(X)]\\
& \leq \mbox{Var}(f(X))+\mathbb{E}[f''^{2}(X)]\\
& = \mbox{Var}(g(X))+\mathbb{E}[g''^{2}(X)]\\
& \leq \mathbb{E}[g^{2}(X)]+\mathbb{E}[g''^{2}(X)] \mbox{ par la définition de la variance.}
\end{align*}
Rien ne dit que cette égalité est vraie. Et si elle est fausse, translater ne change rien.
Le taupin a du mal recopié son exo .
Mais si on impose $f’(a)=f’(b)$ on a l’inégalité car après IPP le terme $f(a)(f’(a)-f’(b))$ (*) s’élimine
On peut aussi juste prendre $f(a)=f(b)=0$ pour éliminer (*)
$$\int_{a}^{b}f'^{2}(t)dt\leq \frac{\alpha}{(b-a)}\int_{a}^{b}f^{2}(t)dt+\beta(b-a)\int_{a}^{b}f''^{2}(t)dt.$$
Avez-vous lu la démonstration de @side ?
Il montre l’inégalité pour une fonction $g$ de classe $C^2$ telle que $g(a)=g(b)=0.$
Puis il montre que l’inégalité pour une fonction $f$ de classe $C^2$ telle que $f(a)=f(b)$ est impliquée par cette même inégalité vérifiée par la fonction $t\leadsto f(t)-f(a).$ Or cette fonction vérifie les conditions d’une fonction $g.$
Il n’y a donc pas d’erreur d’énoncé. Sauf si cette démonstration est fausse.
@Namiswan : ton contre exemple n’en est pas un.
Êtes-vous en train de dire que l’inégalité est fausse ? Avez-vous un contre exemple ?
$a=-2\pi/3, b=2\pi/3$ , $f(x)=\cos(x)$.
$\displaystyle \int_{-2\pi/3}^{2\pi/3}f’^2=\frac{2\pi}{3} +\frac{\sqrt{3}}{4}$
$\displaystyle \int_{-2\pi/3}^{2\pi/3}f^2 =\int_{-2\pi/3}^{2\pi/3}f’’^2 =\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$
Si l’inégalité à prouver était juste on aurait $\ 4\pi/3 +\sqrt{3}/2 \leq 4\pi/3 - \sqrt{3}/2 $, ce qui est manifestement faux.
Donc je pense l’étudiant qui a passé son oral en 2016 a dû oublier des hypothèses.
La version de Bobby Joe est intéressante.
Merci. Je vais réviser mes formules trigo. Et ne pas confondre conditions nécessaires et suffisantes.
Clairement, j'avais été trop vite avec mon idée des séries de Fourier.
Clairement beaucoup de gens (et je m'inclus dedans) ont été trop vite aussi.
La question est à la mode. B-)-