Développement du cosinus intégral

Bonjour,
je sais que l'on a pour tout $x\in\R_+^\ast$ le développement \[
\int_{+\infty}^x \dfrac{\cos(t)}{t} dt = \ln(x)+\gamma + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!(2n)}.

\] J'ai essayé d'établir cette formule, mais j'ai quelques difficultés à faire apparaître la constante $\gamma$. Si je n'ai pas fait d'erreurs de calculs, il me semble qu'il me reste à établir que \[
\gamma=\int_0^1 \dfrac{1-\cos(t)}{t} dt -\int^{+\infty}_1 \dfrac{\cos(t)}{t} dt,
\] mais je ne vois pas comment y arriver.

Quelqu'un aurait-il une idée ou une autre méthode de calcul pour démontrer le développement ci-dessus ?
Merci !