Développement du cosinus intégral
Bonjour,
je sais que l'on a pour tout $x\in\R_+^\ast$ le développement \[
\int_{+\infty}^x \dfrac{\cos(t)}{t} dt = \ln(x)+\gamma + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!(2n)}.
\] J'ai essayé d'établir cette formule, mais j'ai quelques difficultés à faire apparaître la constante $\gamma$. Si je n'ai pas fait d'erreurs de calculs, il me semble qu'il me reste à établir que \[
\gamma=\int_0^1 \dfrac{1-\cos(t)}{t} dt -\int^{+\infty}_1 \dfrac{\cos(t)}{t} dt,
\] mais je ne vois pas comment y arriver.
Quelqu'un aurait-il une idée ou une autre méthode de calcul pour démontrer le développement ci-dessus ?
Merci !
je sais que l'on a pour tout $x\in\R_+^\ast$ le développement \[
\int_{+\infty}^x \dfrac{\cos(t)}{t} dt = \ln(x)+\gamma + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!(2n)}.
\] J'ai essayé d'établir cette formule, mais j'ai quelques difficultés à faire apparaître la constante $\gamma$. Si je n'ai pas fait d'erreurs de calculs, il me semble qu'il me reste à établir que \[
\gamma=\int_0^1 \dfrac{1-\cos(t)}{t} dt -\int^{+\infty}_1 \dfrac{\cos(t)}{t} dt,
\] mais je ne vois pas comment y arriver.
Quelqu'un aurait-il une idée ou une autre méthode de calcul pour démontrer le développement ci-dessus ?
Merci !
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Réponses
Ne faut-il pas donner une justification pour pouvoir utiliser le changement de variable $u=it$ comme dans le lien que tu m’as indiqué ?
dans l'expression du cosinus intégral avec x > 0
il faut montrer que la discontinuité de cost/t pour t = 0 est compensée dans l'intégration qui supporte donc la discontinuité
par exemple en montrant que la limite pour x tendant vers 0 de l'intégrale $\int_{-x}^{x}\frac{cost}{t}dt$ est finie
cost tend vers 1 lorsque t tend vers 0
et donc la limite de l'intégrale est celle de ln|t| calculée de - x à x soit ln|x/x| c'est-à-dire 0
cordialement
https://services.artofproblemsolving.com/download.php?id=YXR0YWNobWVudHMvZS9hL2QyMmI1ODcwYjYwY2JmMzIyNmE1NzY4NzU0NjQwMWIwMmYzMTMz&rn=RXVsZXIncyBjb25zdGFudC5wZGY=
@Mr J pour ta formule dans le lien ci-dessus on démontre la formule 13/ puis la formule 14/
J’ai récupéré par la même occasion la démonstration très simple de lale dans le lien de jandri pour la formule analogue avec la fonction exponentielle.
@etanche : ce document est très complet sur le sujet et il présente une démonstration alternative à celle de jandri et side. Je vais le garder sous la main, ça peut toujours faire un bon devoir pour les étudiants. :-D
Pardonne Jlismonde car il omet dans son explication de parler de la valeur principale de Cauchy et de son lien avec les distributions.... Ceci dit, ses theories vis à vis d'un bac+1-2 risquent ces derniers d'aller droit au casse-pipe en concours et/ou examen