Espace des fonctions à valeurs vectorielles

Imi
Imi
dans Analyse
Salut,
comment on peut montrer ces deux implications :103716
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Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Si $(u_n)_n$ converge presque partout il est évident que $(fu_n)_n$ converge presque partout vers $fu$ pour n'importe quelle fonction $f$.
  • Imi
    Imi
    Merci pour ta réponse pour la première partie de question.
  • O.G.
    O.G.
    Bonjour

    Pour les questions autour de ces espaces, je conseille toujours le document de J. Droniou,
    https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01382368

    Pour la question 2, où est la difficulté ? Est-ce évident que si $p>0$ et $u$ dans $C^\infty_0(\Omega)$ alors $|u|^p u$ appartient à $H^1_0(\Omega)$ ?
  • Imi
    Imi
    Merci pour ta réponse et pour le document.
    Si possible, est-ce que ces équivalences sont valables ?

    $ u\in L^{p}\left(\left[0,t\right], L^{q}\left(\Omega\right)\right)\Leftrightarrow u\in L^{q}\left(\Omega\right) $, pour tout $ 1\le p\le \infty $ et $ 1\le q\le \infty$,

    $ u \in C\left(\left[0,t\right];L^{q}\left(\Omega\right)\right)\Leftrightarrow u\in L^{q}\left(\Omega\right)$, pour tout $1\le q\le \infty$.
  • Poirot
    Poirot
    Tes équivalences n'ont aucun sens, tu compares des fonctions à valeurs dans $L^q(\mathbb C)$ à des fonctions à valeurs dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
  • Imi
    Imi
    $u\left(t\right)$ et pas $u$ .De cette manière:
    $ u\in L^{p}\left(\left[0,t\right], L^{q}\left(\Omega\right)\right)\Leftrightarrow u\left(t\right)\in L^{q}\left(\Omega\right) $, pour tout $ 1\le p\le \infty $ et $ 1\le q\le \infty$,

    $ u \in C\left(\left[0,t\right];L^{q}\left(\Omega\right)\right)\Leftrightarrow u\left(t\right)\in L^{q}\left(\Omega\right)$, pour tout $1\le q\le \infty$.
  • Poirot
    Poirot
    Bah non ce n'est pas du tout ça (sans compter le problème avec le sens du symbole $t$ de chaque côté). Tu n'as pas de définition de l'espace $L^p([0, t], L^q(\Omega))$ ? C'est l'espace des fonctions $f : [0, t] \longrightarrow L^q(\Omega)$ mesurables telles que $\int_{[0, t]} ||f(x)||_{L^q(\Omega)}^p \,\mathrm{d}x < +\infty$. Je te laisse deviner pour l'autre espace.
  • O.G.
    O.G.
    La lecture du document est indispensable.
    Ces espaces, l'identification $L^2((0,T);L^2(\Omega))$ avec $L^2((0,T)\times \Omega))$, les dérivées en temps dans $L^2(0,T;H^{-1})$, le triplet de Gelfand pour la formule d'intégration par parties, les critères de compacité, etc, ne sont pas faciles.
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