Montrer qu'un nombre est un entier

Une idée comme ça une relation récurrence à coefficients entiers ...

Bonsoir,

En laissant tomber le $16$ et en écrivant ce que ça donne suivant les trois cas de $n$ modulo $3$, ça doit se faire sans trop de mal, mais pour le moment, au lit !

Cordialement,

Rescassol

Calculons.

sage: def e(k): return 163/7*(j^k+j^(2*k))/2-53/21*r3*(j^k-j^(2*k))/2/ii+5/7*2^k+16
sage: def g(k):
....:     return e(k+6)-5*e(k+5)+9*e(k+4)-7*e(k+3)+5*e(k+2)-9*e(k+1)+6*e(k)
....: 
sage: [g(k) for k in range(20)]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

Traduction : si \[e_n=\frac{163}7\cos\left(\frac 2 3n\pi\right)-\frac{53}{21}\sqrt 3\sin\left(\frac 2 3n\pi\right)+\frac 5 72^n+16\] est l'expression de gebrane, alors \[e_{n+6}-5e_{n+5}+9e_{n+4}-7e_{n+3}+5e_{n+2}-9e_{n+1}+6e_n=0\] pour tout $n$.

Comment trouver et démontrer cette relation ? Eh bien, $e_n$ est la somme de six suites géométriques de raisons respectives $j=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3}$, $j^2$, $j\sqrt{3}/\mathrm{i}$, $j^2\sqrt{3}/\mathrm{i}$, $2$ et $1$. Le produit des polynômes minimaux de ces entiers algébriques donne la réponse.

sage: A.<r3> = NumberField(x^2-3)
sage: B.<ii> = A.extension(x^2+1)
sage: j = (-1+ii*r3)/2
sage: j.minpoly()
x^2 + x + 1
sage: (j*r3/ii).minpoly()
x^2 - 3*x + 3
sage: p = (x^2+x+1)*(x^2-3*x+3)*(x-2)*(x-1); p.expand()
x^6 - 5*x^5 + 9*x^4 - 7*x^3 + 5*x^2 - 9*x + 6

Ensuite, la positivité se vérifie à la main sur les premiers termes ($e_1=2$, $e_2=11$, $e_4=12$, donc $16$ est presque minimal) et pour $n$ assez grand, le terme en $2^n$ est beaucoup plus grand que les autres.

Je ne crois pas trop à la formule de gai requin, vu que les premières valeurs diffèrent de celles de Namiswan et jandri.

sage: E(x) = 163/7*cos(2*x*pi/3)-53/21*sqrt(3)*sin(2*x*pi/3)+5/7*2^x+16
sage: [E(k) for k in range(1,10)]

Les suites données par Namiswan (version récurrente et version partie entière).

[2, 11, 45, 12, 31, 85, 92, 191, 405]
sage: def hg(n):
....:     if n<3:
....:         return n
....:     return 2^(n-1)+2^(n-3)+hg(n-3)
....: 
sage: [hg(k) for k in range(1,10)]
[1, 2, 5, 11, 22, 45, 91, 182, 365]
sage: [floor(5*2^k/7) for k in range(1,10)]
[1, 2, 5, 11, 22, 45, 91, 182, 365]

gebrane écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2027810,2027810#msg-2027810
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

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Bonjour
On note $u_n$ cette suite ou la suite $HG(n).$
On part de la série entière $g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}u_nx^n$ avec l’expression de $u_n$ on calcule la somme $g(x)=\frac{A(x)}{B(x)},$
où $A,B$ sont polynômes. Avec $A(x)=g(x)B(x)$ en égalant les coefficients de $x^n$ on la relation de récurrence linéaire sur $u_n$ et aussi les premiers termes qui sont entiers.

Intéressant de voir que cette suite est reliée à la tour d’Hanoï.

Bonjour,
Comme l'ont fait remarquer Rescassol et Chaurien, le problème est vite réglé en regardant modulo 3.
En plus, on sait très bien que les coefficients sont entiers en regardant l'autre fil sur les récurrences, puisque c'est ce qu'on obtient en simplifiant la formule qui donne le nombre de déplacements nécessaires. ;-)