Calcul de $\zeta''(0)$

Voir la réponse complexYetTrivial qui utilise l’équation fonctionnelle de la fonction
zeta de Riemann

https://math.stackexchange.com/questions/2896373/stirling-type-formula-for-sum-on-lnn2

Bonjour, dans la référence donnée, pourquoi a-t-on $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} \underset{s \rightarrow 0}{\longrightarrow} \frac 1 2
$$ par le «lemme d'Abel» ?

D'accord, merci !

bonjour

tu connais le développement polynomial dû à Stieljes (avec x différent de zéro) de la fonction :

$\zeta(1+x) - \frac{1}{x} = \gamma_0 - x\gamma_1 + \frac{x^2}{2!}\gamma_2 - \frac{x^3}{3!}\gamma_3+......$

avec $\gamma_0 = \gamma = 0,577215664...$(constante d'Euler) et les autres constantes de stieljes :

$\gamma_1 = - 0,07281....$ et $\gamma_2 = - 0,00969.....$

le développement de Taylor-Mac Laurin de Zeta est $\zeta(x) = \zeta_0 + x\zeta'_0 + \frac{x^2}{2!}\zeta''_0 + \frac{x^3}{3!}\zeta'''_0+ ......$

et les nombres dérivés de $\zeta(x)$ au point x = 0 sont calculés avec $ln\pi$ et les constantes successives de Stieljes :

$\zeta_0 = - \frac{1}{2}$,

$\zeta'_0 = - \frac{1}{2}ln(2\pi)$ ,

$\zeta''_0 = \frac{1}{2}\gamma^2 + \gamma_1 - \frac{\pi^2}{24} - \frac{1}{2}ln^2(2\pi)$

$\zeta'''_0 = 3\gamma.\gamma_1 + \frac{3}{2}\gamma_2 - 7\gamma^2 - \zeta_3 + ln(2\pi)[\frac{3}{2}\gamma^2 + 3\gamma_1 - \frac{\pi^2}{8}] - \frac{1}{2}ln^3(2\pi)$

cordialement