Voisinages, convexes, formes linéaires
Bonjour
Je ne savais pas trop quoi mettre comme titre. Voici mon problème.
J'ai une fonction $f : \R^n \to \R$ continue. Pour $x\in \R^n$, je note $C_x$ l'ensemble de formes linéaires suivant : $$
C_x :=\{p\in L(\R^n,\R)\mid p(y-x) \leq f(y)-f(x)\}.
$$ On vérifie sans peine que c'est une partie convexe de l'espace $L(\R^n, \R)$.
Soit $W$ un voisinage de $C_x$. Je veux montrer que pour $\epsilon$ assez petit, l'ensemble $$
C_{x,\epsilon}:=\{p\in L(\R^n,\R)\mid p(y-x) \leq f(y)-f(x)+ \epsilon\}
$$ est contenu dans $W$.
Merci de votre aide.
Je ne savais pas trop quoi mettre comme titre. Voici mon problème.
J'ai une fonction $f : \R^n \to \R$ continue. Pour $x\in \R^n$, je note $C_x$ l'ensemble de formes linéaires suivant : $$
C_x :=\{p\in L(\R^n,\R)\mid p(y-x) \leq f(y)-f(x)\}.
$$ On vérifie sans peine que c'est une partie convexe de l'espace $L(\R^n, \R)$.
Soit $W$ un voisinage de $C_x$. Je veux montrer que pour $\epsilon$ assez petit, l'ensemble $$
C_{x,\epsilon}:=\{p\in L(\R^n,\R)\mid p(y-x) \leq f(y)-f(x)+ \epsilon\}
$$ est contenu dans $W$.
Merci de votre aide.
Réponses
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Tu ne t’embêtes pas et tu supposes que $x=0$ que tu as une structure euclidienne et tu notes $k=-f(0)$ et $C_k=\{p\mid \langle p,y\rangle\leq f(y)+k, \ \forall y\}.$ Et tu es en train de te demander pourquoi $C_k\subset C_{k+\epsilon}$ !
-
Désolé P. je ne me suis pas connecté hier et je découvre ta réponse seulement maintenant.
Je ne comprends pas ce que tu dis : je ne veux pas montrer que $C_k$ est contenu dans $C_{k+\epsilon}$, mais que pour tout voisinage $W$ de $C_k$, il existe $\epsilon$ tel que $C_{k+ \epsilon}\subset W$.
Je n'ai pas l'impression que ce soit équivalent à ce que tu dis. Dire que $C_{k+\epsilon}$ contient $C_k$ ne me dit pas que pour un voisinage $W$ arbitrairement petit de $C_k$, je peux trouver $\epsilon$ tel que $C_{k+\epsilon}$ est contenu dans $W$. -
Pardonne, j'avais mal lu. Reflechissons.
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Si $f$ est continue sur $R^n$ alors $C=\{p\in \R^n; \langle p,y\rangle \leq f(y)\ \forall y\in \R^n\}$ est un convexe compact. Il est clair que c'est un convexe ferme. S'il n'est pas borne soit $p_n\in C$ tel que $r_n=\|p_n\|\to \infty.$ Soit $S$ la sphere unite de $\R^n$ et soit $y_n=p_n/r_n$ et donc $r_n\leq f(y_n)$. Comme $S$ est compacte on peut extraire une suite convergente de $(y_n),$ disons $y_{n_k}\to y_0$. Comme $f$ est continue on arrive a l'impossiblite $f(y_0)=+\infty.$
Ensuite comme $C$ est compact, si $V$ est un voisinage de $C$ et si $B(0,r)$ est la boule ouverte de rayon $r$ alors il existe $r>0$ tel que $C+B(0,r)\subset V.$ En effet $V$ est aussi un voisinage de la frontiere $D$ de $C$ et donc pour tout $d\in D$ il existe $ r_d>0$ tel que $B(d,r_d)\subset V.$ Comme les ouverts $B(d,r_d)$ recouvrent le compact $D$ il existe ume partie finie de $D$ disons $\{d_1,\ldots,d_m\}$ telle que $D\subset \cup_{i=1}^mB(d_i,r_{d_i}).$ Et avec un peu de patience on peut fabriquer $r>0$ tel que
$$C+B(0,r)\subset C\bigcup \cup_{i=1}^mB(d_i,r_{d_i})\subset V.$$
Reste a montrer qu'il existe $\epsilon $ tel que $C_{\epsilon} =\{p\in \R^n; \langle p,y\rangle \leq f(y)+\epsilon\ \forall y\in \R^n\}\subset C+B(0,r).$ J'ai comme un doute. -
Désolé, P., une fois de plus je découvre ton message tardivement.
En fait, je ne suis pas sûr que ce que je chercheais à montrer soit vrai. J'essaye de trouver un contrexemple.
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Bonjour!
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