Voisinages, convexes, formes linéaires

Si $f$ est continue sur $R^n$ alors $C=\{p\in \R^n; \langle p,y\rangle \leq f(y)\ \forall y\in \R^n\}$ est un convexe compact. Il est clair que c'est un convexe ferme. S'il n'est pas borne soit $p_n\in C$ tel que $r_n=\|p_n\|\to \infty.$ Soit $S$ la sphere unite de $\R^n$ et soit $y_n=p_n/r_n$ et donc $r_n\leq f(y_n)$. Comme $S$ est compacte on peut extraire une suite convergente de $(y_n),$ disons $y_{n_k}\to y_0$. Comme $f$ est continue on arrive a l'impossiblite $f(y_0)=+\infty.$



Ensuite comme $C$ est compact, si $V$ est un voisinage de $C$ et si $B(0,r)$ est la boule ouverte de rayon $r$ alors il existe $r>0$ tel que $C+B(0,r)\subset V.$ En effet $V$ est aussi un voisinage de la frontiere $D$ de $C$ et donc pour tout $d\in D$ il existe $ r_d>0$ tel que $B(d,r_d)\subset V.$ Comme les ouverts $B(d,r_d)$ recouvrent le compact $D$ il existe ume partie finie de $D$ disons $\{d_1,\ldots,d_m\}$ telle que $D\subset \cup_{i=1}^mB(d_i,r_{d_i}).$ Et avec un peu de patience on peut fabriquer $r>0$ tel que
$$C+B(0,r)\subset C\bigcup \cup_{i=1}^mB(d_i,r_{d_i})\subset V.$$



Reste a montrer qu'il existe $\epsilon $ tel que $C_{\epsilon} =\{p\in \R^n; \langle p,y\rangle \leq f(y)+\epsilon\ \forall y\in \R^n\}\subset C+B(0,r).$ J'ai comme un doute.