Inégalité entre intégrales

Soit une fonction $g_0$ d'intégrale nulle. Sans perte de généralité, on peut considérer que $\|g_0\|_\infty = \max_K g_0$

On pose alors $g_\epsilon(x) = g_0(x) + \epsilon$. Remarquons que $g_\epsilon$ n'est pas d'intégrale nulle

Et alors pour $f=g_0$, on veut

$\left(\int_K g_0(x) (g_0(x) +\epsilon) dx \right)^2 > \|g_0\|^2_\infty \left(\int_K (g_0(x)+\epsilon) dx \right)^2$

C'est à dire

$\left(\int_K g_0^2(x) dx \right)^2 > \|g_0\|^2_\infty |K|^2 \epsilon^2$

Il suffit donc de prendre

$\epsilon <\frac{1}{ \|g_0\|_\infty |K| } \left| \int_K g_0^2(x) dx \right|$