Valeurs d'adhérence

Calcule le module et l'argument du terme général du produit.

Puis, utilise (ou démontre! ^^) le fait suivant : si $\displaystyle u_{n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty$ et $\displaystyle u_{n+1}-u_{n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0$ alors la suite $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ est dense modulo $1$ i.e. la suite $(e^{2\pi iu_{n}})_{n\in \mathbb{N}}$ est dense dans le cercle unité.

Tu trouveras que l'ensemble des valeurs d'adhérence de ton produit est un cercle de centre $0$ et de rayon $\rho$ (à déterminer).

Fais un dessin : si tu "replies" la suite $(u_{n})$ sur le cercle, dire que $u$ tend vers $+\infty$ signifie que la suite fait une infinité de fois le tour du cercle. Dire que les écarts consécutifs de deux termes de la suite tendent vers $0$ signifie que l'on fait des tours mais en faisant des pas de plus en plus petits. Formalise alors pour prouver que les termes de cette suite tombent, à un moment donné, dans n'importe quel arc de cercle de longueur strictement positive.