Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ et $(X'_k)_{k\geq 1}$ des variables aleatoires independantes et de meme loi $\frac{1}{2}(\delta_{-1}+\delta_1)$, notons pour simplifier $v_k=1/(2k-1)$, $r_n=\sum_{k=n+1}^{\infty}v^2_k$ et $S_n=\sum_{k=1}^{n}X_kv_k.$ Montrons que $u_n=\mathbb{E}(|S_n|) $ a une limite. Observons que
$$u_{n+k}^2=\mathbb{E}((|\sum_{j=1}^{n+k}X_jv_j|) (|\sum_{j=1}^{n+k}X'_jv_j|))\leq u_n^2+2u_n\mathbb{E}(|S_{n+k}-S_n|)+r_n-r_{n+k}\leq u_n^2+2u_n\sqrt{\mathbb{E}((S_{n+k}-S_n)^2)}+r_n-r_{n+k}$$ et donc $u_{n+k}\leq u_n+\sqrt{r_n-r_{n+k}}.$ . Conclusion $\limsup_n u_n\leq u_{n_0}+\sqrt{r_{n_0}}, \ \limsup_n u_n\leq \liminf _{n_0}u_{n_0}$ et la limite de $(u_n)$ existe.
edit: merci a Lou qui a corrige une egalite en une inegalite.
Cher Jean, nous n'avons pas compris la question de la meme maniere.
Quant a calculer la limite $ \ell$ de $u_n$ exactement, c'est difficile. Il y a la majoration triviale $u^2_n\leq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$ qui donne $\ell<1,11..$ La majoration $\ell<u_{n_0}+\sqrt{r_{n_0}}$ suppose qu'on sache calculer $u_{n_0}$ ce qu'on sait faire pour $n_0<8$ puisque $$\sum_{n=2}^{7}\frac{1}{2n-1}<1<\sum_{n=2}^{8}\frac{1}{2n-1}$$ ce qui entraine que $u_n=1$ si $n=1,\ldots,7$. Mais helas $u_7+\sqrt{r_7}=1,18..>1,11...$ et la majoration obtenue avec $n_0=7$ est moins bonne que la majoration triviale.
Il y a un peu plus simple pour la convergence, à mon avis?
En notant $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\varepsilon_{k}}{2k+1},$ on a en conditionnant dans l'espérance puis en utilisant l'inégalité triangulaire :
$$\mathbb{E}\left[ \vert S_{n+1}\vert \right]=\frac{1}{2}\mathbb{E}\left[ \vert S_{n}-\frac{\varepsilon_{n}}{2n+1}\vert \right]+\frac{1}{2}\mathbb{E}\left[ \vert S_{n}+\frac{\varepsilon_{n}}{2n+1}\vert \right]\geq \mathbb{E}[\vert S_{n}\vert].$$
Ainsi, la suite en jeu est croissante.
Le caractère borné de cette suite s'obtient en appliquant Jensen (ou l'inégalité de Cauchy-Schwarz)
$$\mathbb{E}\left[ \vert S_{n}\vert \right]\leq \sqrt{\mathbb{E}[S_{n}^{2}]}=\sqrt{\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(2k+1)^{2}}}<+\infty.$$
Enfin, la limite n'est pas nulle (on a même par les inégalités de Khintchine : $\displaystyle \mathbb{E}\left[ \vert S_{n}\vert \right]\approx \sqrt{\mathbb{E}[S_{n}^{2}]}$).
Réponses
$$u_{n+k}^2=\mathbb{E}((|\sum_{j=1}^{n+k}X_jv_j|) (|\sum_{j=1}^{n+k}X'_jv_j|))\leq u_n^2+2u_n\mathbb{E}(|S_{n+k}-S_n|)+r_n-r_{n+k}\leq u_n^2+2u_n\sqrt{\mathbb{E}((S_{n+k}-S_n)^2)}+r_n-r_{n+k}$$ et donc $u_{n+k}\leq u_n+\sqrt{r_n-r_{n+k}}.$ . Conclusion $\limsup_n u_n\leq u_{n_0}+\sqrt{r_{n_0}}, \ \limsup_n u_n\leq \liminf _{n_0}u_{n_0}$ et la limite de $(u_n)$ existe.
edit: merci a Lou qui a corrige une egalite en une inegalite.
considérons d'abord la somme algébrique avec des signes +
il convient de trouver un équivalent à ta somme harmonique des entiers impairs :
$S_n = 1 + 1/3 + 1/5 + ........+ 1/(2n-1)$ elle est telle que
$S_n + 1/2 + 1/4 + 1/6 + ..........+ 1/(2n) $ est équivalent à $ln(2n)$ d'après Euler et donc
$S_n$ est équivalent à $ln(2n) - (1/2)ln(n)$ soit encore équivalent à (1/2)ln(n)
si tu sommes algébriquement cette suite jusqu'à n tu obtiens $\frac{1}{2}ln(n!)$ équivalent d'après Stirling à $\frac{n}{2}ln(n/e)$
et donc ta suite $u_n$ est équivalent à $\frac{n}{2^{n+1}}ln(n)$ qui converge rapidement vers 0+
dans le second cas avec les signes -, tu obtiens le même résultat
cordialement
Quant a calculer la limite $ \ell$ de $u_n$ exactement, c'est difficile. Il y a la majoration triviale $u^2_n\leq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$ qui donne $\ell<1,11..$ La majoration $\ell<u_{n_0}+\sqrt{r_{n_0}}$ suppose qu'on sache calculer $u_{n_0}$ ce qu'on sait faire pour $n_0<8$ puisque $$\sum_{n=2}^{7}\frac{1}{2n-1}<1<\sum_{n=2}^{8}\frac{1}{2n-1}$$ ce qui entraine que $u_n=1$ si $n=1,\ldots,7$. Mais helas $u_7+\sqrt{r_7}=1,18..>1,11...$ et la majoration obtenue avec $n_0=7$ est moins bonne que la majoration triviale.
Je modifie légèrement la suite proposée par Etanche, sans que çà change le problème: $\forall n \in \N^*,\:\:v_n = \dfrac 1 {2n-1}, \quad A_n:= \{-1;+1\}^n,\quad\:\forall \varepsilon \in A_n,\:\: S_{n,\varepsilon} :=\displaystyle \sum_{i=1}^n \varepsilon _i v_i,$$\quad u_n := \dfrac 1{2^n}\displaystyle \sum_{\varepsilon \in A_n}|S_{n,\varepsilon}|.$
$1)\:\boxed{ \text{ La suite}\:(u_n)\:\text{est majorée.}}$
$ u_n \leqslant \dfrac 1{2^n}\left( \displaystyle \sum_{\varepsilon \in A_n}(S_{n,\varepsilon} ^2 +1) \right)=1+\dfrac 1 {2^n}\left(\displaystyle \sum_{\varepsilon \in A_n} (\displaystyle \sum_{i=1}^nv_i^2 +2 \sum_{1\leqslant i <j\leqslant n }\varepsilon _i\varepsilon_j v_iv_j)\right ) =1+\displaystyle \sum_{i=1}^n v_i^2\leqslant 1 + \dfrac {\pi^2}8\:\square$
$2)\: \boxed{\text{La suite} \:(u_n) \:\text{est croissante}.}$
Notons $ B_n := \{\varepsilon \in A_n \mid |S_{n,\varepsilon}>v_{n+1} \},\quad C_n :=A_n \setminus B_n.\quad$ Alors:
$2^{n+1}u_{n+1} = \displaystyle{\sum_{\varepsilon \in B_n }\left(|S_{n,\varepsilon}+ v_{n+1}| +|S_{n,\varepsilon}- v_{n+1}|\right) +\sum_{\varepsilon \in C_n }\left(|S_{n,\varepsilon}+ v_{n+1}| +|S_{n,\varepsilon} -v_{n+1}|\right) =2\sum_{\varepsilon \in B_n } |S_{n,\varepsilon}}| +2\sum_{\varepsilon \in C_n } v_{n+1}$
$2^{n+1}u_{n+1} =2 \displaystyle{\sum_{\varepsilon \in A_n }|S_{n,\varepsilon}|+2\sum_{\varepsilon \in C_n }(v_{n+1} - |S_{n,\varepsilon}|) = 2^{n+1} u_n +2\sum_{\varepsilon \in C_n }(v_{n+1} - |S_{n,\varepsilon}|)}\:\:$ qui conduit à:$\:\:u_{n+1}\geqslant u_n\: \square$
$u_2=\frac{1}{4}(|1 +\frac13| + |1-\frac13|)$
$u_3=\frac{1}{8}(|1+\frac13+\frac15| +|1-\frac13+\frac15|+|1+\frac13-\frac15|+|1-\frac13-\frac15|)$
etc.
Voilà un joli exercice pour l’oral de l’X.
En notant $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\varepsilon_{k}}{2k+1},$ on a en conditionnant dans l'espérance puis en utilisant l'inégalité triangulaire :
$$\mathbb{E}\left[ \vert S_{n+1}\vert \right]=\frac{1}{2}\mathbb{E}\left[ \vert S_{n}-\frac{\varepsilon_{n}}{2n+1}\vert \right]+\frac{1}{2}\mathbb{E}\left[ \vert S_{n}+\frac{\varepsilon_{n}}{2n+1}\vert \right]\geq \mathbb{E}[\vert S_{n}\vert].$$
Ainsi, la suite en jeu est croissante.
Le caractère borné de cette suite s'obtient en appliquant Jensen (ou l'inégalité de Cauchy-Schwarz)
$$\mathbb{E}\left[ \vert S_{n}\vert \right]\leq \sqrt{\mathbb{E}[S_{n}^{2}]}=\sqrt{\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(2k+1)^{2}}}<+\infty.$$
Enfin, la limite n'est pas nulle (on a même par les inégalités de Khintchine : $\displaystyle \mathbb{E}\left[ \vert S_{n}\vert \right]\approx \sqrt{\mathbb{E}[S_{n}^{2}]}$).
$$\frac{1}{2n+1} > \left|1 \pm \frac{1}{3} \pm \cdots \pm \frac{1}{2n-1}\right|, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (?)$$