Limite d’une suite étrange

Cher Jean, nous n'avons pas compris la question de la meme maniere.


Quant a calculer la limite $ \ell$ de $u_n$ exactement, c'est difficile. Il y a la majoration triviale $u^2_n\leq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$ qui donne $\ell<1,11..$ La majoration $\ell<u_{n_0}+\sqrt{r_{n_0}}$ suppose qu'on sache calculer $u_{n_0}$ ce qu'on sait faire pour $n_0<8$ puisque $$\sum_{n=2}^{7}\frac{1}{2n-1}<1<\sum_{n=2}^{8}\frac{1}{2n-1}$$ ce qui entraine que $u_n=1$ si $n=1,\ldots,7$. Mais helas $u_7+\sqrt{r_7}=1,18..>1,11...$ et la majoration obtenue avec $n_0=7$ est moins bonne que la majoration triviale.

Bonsoir,

Je modifie légèrement la suite proposée par Etanche, sans que çà change le problème: $\forall n \in \N^*,\:\:v_n = \dfrac 1 {2n-1}, \quad A_n:= \{-1;+1\}^n,\quad\:\forall \varepsilon \in A_n,\:\: S_{n,\varepsilon} :=\displaystyle \sum_{i=1}^n \varepsilon _i v_i,$$\quad u_n := \dfrac 1{2^n}\displaystyle \sum_{\varepsilon \in A_n}|S_{n,\varepsilon}|.$
$1)\:\boxed{ \text{ La suite}\:(u_n)\:\text{est majorée.}}$
$ u_n \leqslant \dfrac 1{2^n}\left( \displaystyle \sum_{\varepsilon \in A_n}(S_{n,\varepsilon} ^2 +1) \right)=1+\dfrac 1 {2^n}\left(\displaystyle \sum_{\varepsilon \in A_n} (\displaystyle \sum_{i=1}^nv_i^2 +2 \sum_{1\leqslant i <j\leqslant n }\varepsilon _i\varepsilon_j v_iv_j)\right ) =1+\displaystyle \sum_{i=1}^n v_i^2\leqslant 1 + \dfrac {\pi^2}8\:\square$

$2)\: \boxed{\text{La suite} \:(u_n) \:\text{est croissante}.}$
Notons $ B_n := \{\varepsilon \in A_n \mid |S_{n,\varepsilon}>v_{n+1} \},\quad C_n :=A_n \setminus B_n.\quad$ Alors:

$2^{n+1}u_{n+1} = \displaystyle{\sum_{\varepsilon \in B_n }\left(|S_{n,\varepsilon}+ v_{n+1}| +|S_{n,\varepsilon}- v_{n+1}|\right) +\sum_{\varepsilon \in C_n }\left(|S_{n,\varepsilon}+ v_{n+1}| +|S_{n,\varepsilon} -v_{n+1}|\right) =2\sum_{\varepsilon \in B_n } |S_{n,\varepsilon}}| +2\sum_{\varepsilon \in C_n } v_{n+1}$
$2^{n+1}u_{n+1} =2 \displaystyle{\sum_{\varepsilon \in A_n }|S_{n,\varepsilon}|+2\sum_{\varepsilon \in C_n }(v_{n+1} - |S_{n,\varepsilon}|) = 2^{n+1} u_n +2\sum_{\varepsilon \in C_n }(v_{n+1} - |S_{n,\varepsilon}|)}\:\:$ qui conduit à:$\:\:u_{n+1}\geqslant u_n\: \square$

Bobby: (tu)

Question : pour $n\geq 7$ existe-il une configuration de $\pm$ telle que l'on ait :

$$\frac{1}{2n+1} > \left|1 \pm \frac{1}{3} \pm \cdots \pm \frac{1}{2n-1}\right|, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (?)$$