Construction d'une suite dense
Bonsoir,
Je sais faire les question 3 (conséquence direct de 2) et 4 assez faciles mais je bute sur la question 2. La 2)a voici mon raisonnement, la 2)b je bloque totalement.
Pour la 2)a :
Soit $x \in \R$, soit $k \in \N$ avec $-k \pi \leq x \leq k \pi$
On a $g(k \pi)= (-1)^k k \pi$ et $g((k+1) \pi)= (-1)^{k+1} (k+1) \pi$
Ainsi $g(k \pi) g((k+1) \pi) = - k(k+1) \pi ^2 \leq 0$ et comme $g$ est continue sur $\R$ d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $y(k,x) \in [k \pi,(k+1) \pi]$ tel que $g(y(k,x))=x$
Montrons que $y(k,x) \ne (k+1) \pi$
$g((k+1) \pi)= (-1)^{k+1} (k+1) \pi$ Si $k$ est pair alors $g((k+1) \pi)= - (k+1) \pi < -k \pi \leq x$ et si $k$ est impair alors $g((k+1) \pi)= (k+1) \pi > k \pi \geq x$
Dans tous les cas $g((k+1) \pi) \ne x$
Je sais faire les question 3 (conséquence direct de 2) et 4 assez faciles mais je bute sur la question 2. La 2)a voici mon raisonnement, la 2)b je bloque totalement.
Pour la 2)a :
Soit $x \in \R$, soit $k \in \N$ avec $-k \pi \leq x \leq k \pi$
On a $g(k \pi)= (-1)^k k \pi$ et $g((k+1) \pi)= (-1)^{k+1} (k+1) \pi$
Ainsi $g(k \pi) g((k+1) \pi) = - k(k+1) \pi ^2 \leq 0$ et comme $g$ est continue sur $\R$ d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $y(k,x) \in [k \pi,(k+1) \pi]$ tel que $g(y(k,x))=x$
Montrons que $y(k,x) \ne (k+1) \pi$
$g((k+1) \pi)= (-1)^{k+1} (k+1) \pi$ Si $k$ est pair alors $g((k+1) \pi)= - (k+1) \pi < -k \pi \leq x$ et si $k$ est impair alors $g((k+1) \pi)= (k+1) \pi > k \pi \geq x$
Dans tous les cas $g((k+1) \pi) \ne x$
Réponses
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J’ai demandé à un universitaire il m’ a reconnu sujet agrégation interne 2007 analyse
C’est à la page 56 pour le 2b)
http://mangeard.maths.free.fr/Agregation/rapport2007.pdf#page54 -
Je ne comprends rien aux corrigés des rapports. Ils vont vite et n'expliquent pas tout.
La correction de cette question dans le rapport m'est incompréhensible. C'est du chinois. -
Bonjour
pour la question 2,b) tu as $|y(k,x)-n_k^{1/3}|\leq \dfrac{1}{3k^2 \pi^2}$, il reste à appliquer le th des accroissements finis. -
Alexique, bien vu.
Posons $h(x)=g(x)-x$
On a $h( k \pi) h( (k+1) \pi) = k(k+1) \pi^2 ((-1)^k-1) ((-1)^{k+1}-1)=0$ d'où le résultat.
Bd2017
J'avoue que je ne vois pas d'où sort cette inégalité. -
Donc produit nul donc l'un des deux facteurs l'est. Lequel ? Quand ça ? Pour moi, tu n'as encore pas répondu à la question.
-
Je reformule.
On a $h(k \pi)=k \pi (-1)^k -k \pi$ et $k((k+1) \pi) = (k+1) \pi (-1)^{k+1} -(k+1) \pi$
Si $k$ est pair alors $h(k \pi)=0$ et $h((k+1) \pi = -2(k+1) \pi <0$ donc $h(k \pi) h((k+1) \pi) \leq 0$
Si $k$ est impair alors $k(k \pi)= - k \pi <0$ et $h((k+1) \pi)= 0$ donc $h(k \pi) h((k+1) \pi) \leq 0$
Dans tous les cas $h(k \pi) h((k+1) \pi) \leq 0$ -
@ Amathoué : Oui, bien vu, je commence à fatiguer aussi à force de l'aider, je ne vois même plus ses bêtises. Dodo !
Et par contre, ton message précédent est en terme de justification complètement vide. Tu me dis qu'un certain produit est nul (ce qui est vrai) et tu fais plein de blabla ensuite pour montrer qu'il est négatif ou nul. Perte de temps, d'énergie... -
Mais pourquoi poser $h(x)=g(x)-x$???
Et de quelle équation penses-tu avoir donné l’existence d’une solution? Tu mélanges tout... -
C'est une technique que j'ai apprise dans mon livre dans le chapitre continuité.
Pour montrer l'existence d'une solution de $f(x)=x$ on étudie $f(x)-x=0$ -
Le théorème des valeurs intermédiaires ;
Si $f$ est continue sur $I$ intervalle de $\R$ et $(a,b) \in I^2$ et si $f(a)f(b) \leq 0$ alors il existe $c$ entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=0$ -
Mais on ne te demande pas de résoudre $g(x)=x$! Relis-toi.... Edit : Relis l’énoncé plutôt...0
-
Il faut trouver une solution à $g(x)=x$ donc ça revient à la même chose que trouver une solution à $g(x)-x=0$ et pour cela on utilise le théorème des valeurs intermédiaires.
-
Non, ce n’est absolument pas ce qui est demandé.
Mais bon, tu t’entêtes au lieu de relire la question correctement.
Bonne nuit. -
Mais sérieux tu sais lire ? $x$ est fixé !!! On te demande pas de le trouver ! y'a écrit "démontrer qu'il existe un réel $y$ tel que $g(y)=x$" et toi tu lis "démontrer qu'il existe un réel $x$ tel que $g(x)=x$ ? Tu peux te planter la première fois mais au bout de 5 posts où on te dit de faire gaffe, t'es vraiment impardonnable.
On te demande de trouver $y$ tel que $g(y)=x$ !! Quelle est donc la fonction dont tu cherches le(s) zéro(s) ? -
$g(k \pi) = (-1)^k k \pi$
$g((k+1) \pi)=(-1)^{k+1} (k+1) \pi$
$-k \pi \leq x \leq k \pi$
Si $k$ est pair $ g((k+1) \pi) = -(k+1) \pi < - k \pi \leq x \leq g(k \pi)= k \pi $
Si $k$ est impair $g(k \pi)= -k \pi \leq x \leq k \pi <g((k+1) \pi) =(k+1) \pi $
Et on conclut avec le théorème des valeurs intermédiaires. On voit bien d'après les inégalités strictes que $g((k+1) \pi) \ne x$ -
Supposons que l'on ait $|y(k,x)-n_k^{1/3}|\leq \dfrac{1}{3k^2 \pi^2}$
Par définition de la partie entière $n_k \leq y(k,x)^3 < n_k +1$
Or $y(k,x)-n_k^{1/3}=y(k,x) - f(n_k)$
Je ne vois pas comment faire. -
$|a_k - x| = |g(f(n_k)) - g(f(y_k^3))|$
et avec $|n_k - y_k^3|$ qui est borné par ... il suffit de montrer que la dérivée de ... tend vers... -
Merci.
Par définition de la partie entière $0 \leq y(k,x)^3-n_k <1$ donc $\boxed{|y(k,x)^3-n_k| < 1}$
Comme $a_{n_k}-x=g \circ f(n_k) - g \circ f(y(k,x)^3)$ et par dérivabilité de $f$, d'après le théorème des accroissements finis, il existe un $c_k \in ]n_k,y(k,x)^3[$ tel que $a_{n_k}-x= g \circ f'(c_k) (n_k-y(k,x)^3)$
On sait que $c_k >n_k \geq y(k,x)^3-1$ et $y(k,x) \geq k \pi$ donc $c_k \geq k^3 \pi^3-1 \longrightarrow + \infty$
Par comparaison $\boxed{\lim\limits_{k \rightarrow +\infty} c_k= + \infty}$
Par caractérisation séquentielle de la limite, comme $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} g \circ f'(x)=0$ on obtient $\boxed{\lim\limits_{k \rightarrow +\infty} g \circ f'(c_k) =0}$
Or $|a_{n_k}-x| \leq |g \circ f'(c_k)| $ par le théorème d'encadrement $\boxed{\lim\limits_{k \rightarrow +\infty} a_{n_k}= x}$
Technique cette question, sans l'astuce de départ avec le $x=g \circ f(y(k,x)^3)$ c'est impossible ::o -
C'est pas $f$ la fonction à laquelle il faut appliquer les accroissements finis. Et c'est pas une astuce. Il faut écrire une différence d'image par la même fonction. Quand on voit la tête de $a_n$ et la question précédente, y'a pas 1000 possibiltés pour l'intervalle et la fonction. Mais faut chercher 1 minute quoi...
-
Ok par contre $g \circ f$ est dérivable sur $\R^{*}$ étant donné que $f$ n'est pas dérivable en $0$ donc il faut montrer que $0 \notin ]n_k,y(k,x)^3[$ non ?
Parce que je ne vois pas comment le montrer. -
$x \mapsto |x|$ n'est pas dérivable en $0$ et $x \mapsto |x|^2=x^2$ l'est, pas de rigueur, je me répète...
Ensuite, oui, $g \circ f$ n'est pas dérivable en $0$ mais c'est pas un problème, pourquoi ? Avec ce que tu as déjà fait... -
Pour pouvoir appliquer le théorème des accroissement finis sur un intervalle il faut :
$g \circ f$ continue sur $[n_k,y(kx)]$ et dérivable sur $]n_k,y(k,x)[$
Mais comment montrer qu'entre $n_k$ et $y(k,x)^3$ il n'y a pas $0$ ? -
Il se passe quoi pour $k$ grand ?
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Ah d'accord merci.
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Réponse complète bien rédigée ?
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Ma réponse est quasi complète ci haut.
Il faut juste rajouter, pour $k$ assez grand $0 \notin ]n_k,y(k,x)[$ car $n_k$ tend vers $+ \infty$ donc il existe un rang où $n_k>0$ donc $g \circ f$ est continue sur $[n_k,y(k,x)]$ et dérivable sur $ ]n_k,y(k,x)[$, on peut donc appliquer le théorème des accroissements finis. -
ben non c'est pas complet. Tu ne montres pas que $(a_k)$ tend vers $x$.
Donc reprends ton message du haut quasi-complet et tu verras que y'a des choses à changer et à rajouter. Par exemple $g \circ f'$, c'est n'importe quoi ! Ou alors, tu sais pas dériver $g \circ f$ à une semaine du CAPES !
C'est lassant quand on te dit que y'a un problème et que tu dis "tout va bien". C'est vraiment une attitude qui passera pas si un jour tu passes un oral dans ta vie. C'est un peu comme si toi tu maitrisais parfaitement ton sujet, alors que nous les autres intervenants, on est juste des guingols ignares qui savons rien. Et même si t'en as peut-être pas conscience, parce que tu es naïf, poli, gentil... ça fait quand même très méprisant parfois, je sais pas si tu t'en rends compte ?
Si je t'embête et que mes questions te fatiguent, dis-le et je sors, tout comme les autres intervenants qui ont déserté parce qu'ils ont pas ma patience et parce qu'ils aiment pas trop voir leurs messages ignorés aussi certainement. -
Je ne vois pas d'erreur dans mon raisonnement mis à part l'erreur de frappe le $g \circ f'$ que j'aurais du écrire $(g \circ f)'$
Je sais que $(g \circ f)' = f' \times g' \circ f$.
J'ai montré que la limite de $a_{n_k}-x$ est nulle par majoration par une suite qui tend vers $0$ donc $a_{n_k}$ tend vers $x$. -
Tu as vérifié où que la dérivée de gof tendait vers 0 en l'infini?
-
Oui. C'était une question précédente.
-
Ok et comme c'est du calcul et que tu es fort en calcul, on te fait confiance et surtout parce que j'ai pas envie que tu me recopies le corrigé.
N'empêche que tu t'adresses à des personnes qui ne savent pas quelles sont les questions d'avant, que tu as traitées ou pas, donc quand tu exposes un raisonnement, si tu ne nous dis pas tout, on peut pas deviner... En particulier, dans un sujet d'écrit, pense bien à préciser "par la question bidule", sinon ton raisonnement peut-être considéré comme lacunaire. Et c'est dommage de perdre bêtement des points comme ça. -
Je n'ai pas regardé le corrigé pour faire ces questions. De toute façon les corrigés des rapports sont bien trop succincts pour que je puisse y comprendre quelque chose.
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Bonjour!
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