Extremas liés
Bonjour.
Soit $g$ une fonction de classe $C^1$ sur $\R^3$. Soit $B=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2+z^2\leq1\}$.
Puisque $g$ est continue sur le compact $B$ alors elle admet un maximum sur $B$ et ce maximum est atteint en $u\in B$.
Si $u$ dans l'intérieur de $B$ alors $\nabla g(u)=0$ (le gradient de $g$ en $u$ est nul) donc il existe $a=0$ tel que $\nabla g(u)=0 =au$.
Si $u$ est dans la frontière $\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}$ alors d'après le théorème des extrema liés il existe $a\in\R$ tel que $\nabla g(u) =au$.
Ma question pourquoi $a\geq 0$.
Merci.
[J'ai remplacé $\triangle$ par $\nabla$. AD]
Soit $g$ une fonction de classe $C^1$ sur $\R^3$. Soit $B=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2+z^2\leq1\}$.
Puisque $g$ est continue sur le compact $B$ alors elle admet un maximum sur $B$ et ce maximum est atteint en $u\in B$.
Si $u$ dans l'intérieur de $B$ alors $\nabla g(u)=0$ (le gradient de $g$ en $u$ est nul) donc il existe $a=0$ tel que $\nabla g(u)=0 =au$.
Si $u$ est dans la frontière $\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}$ alors d'après le théorème des extrema liés il existe $a\in\R$ tel que $\nabla g(u) =au$.
Ma question pourquoi $a\geq 0$.
Merci.
[J'ai remplacé $\triangle$ par $\nabla$. AD]
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Réponses
Parce que c’est un maximum.
Écris la proposition pour une fonction d’une variable et donc $B$ est $\{x\in\R||x|\leq1\}.$
Étudies graphiquement pour $\displaystyle g: \leadsto x^2$. Écris la dérivée comme la limite du taux de variation : quelle est son signe selon le signe de $u=\pm 1$ ?
Comment peux-tu utiliser ce résultat pour le cas en dimension $n$ ?
As-tu une preuve une dimension n?
Soit $y\in S=\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\mid x^2_1+\cdots+x^2_n=1\}$. Soit $h\in\R^n,\ h+y\in S$.
D'après la formule de Taylor, on a : $$f(y+h)-f(y)=\big<\nabla f(y),h\big>+o(||h||)
$$ donc $$f(y+h)-f(y)=\big<\lambda y,h\big>+o(||h||) ,
$$ or $f(y+h)-f(y)\leq 0$ et $f(y+h)-f(y)\sim \big<\lambda y,h\big>\leq 0$
Mais $h+y\in S$ donc $||y+h||^2=||y||^2+2 \big< y,h\big> +||h||^2$
donc $\big< y,h\big>=-\frac{||h||^2}{2}$
et donc $-\lambda ||h||^2 \leq 0.$
Par suite $\quad\lambda\geq 0.$
Sous les notations du post initial, on a l'existence d'un $u$ sur la frontière vérifiant $\nabla g(u)=au $ donc $< \nabla g(u),u>=a||u||^2$ donc il suffit de prouver que $< \nabla g(u),u>$ est positif. On peut écrire https://fr.wikipedia.org/wiki/Dérivée_directionnelle
$$< \nabla g(u),u>=\lim_{s\to 0} \frac{g(u+su)-g(u)}{s}$$
On a $\forall s\in [-1,0], s+1\in [0,1]$ donc $||u+su||\leq 1$ et donc $u+su\in B$ et puisque $u$ est le max sur B alors $g(u+su)-g(u)\leq 0$ d'où $\lim_{s\to 0^-} \frac{g(u+su)-g(u)}{s}\geq 0$. CQFD
Merci pour ta méthode@gebrane. j'ai une question en dimension $n=1$ on a $f(a+h)-f(a)\sim hf'(a)$ au voisinage de $0$, de même en dimensions quelconque on a $f(a+h)-f(a)\sim < \nabla f(a),h>$ si $f$ est à valeurs dans $\R$. Pourqoui mon raisonnement n'est pas correct.