Somme des entiers consécutifs

OShine
OShine
dans Analyse
Bonsoir,

J'ai un peu honte de demander mais je bloque pour calculer $\displaystyle\sum_{k=a}^b k$

Je ne vois pas comment utiliser $\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}$

Réponses

  • Dom
    Dom
    N’est-ce pas une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique ?
    En supposant que $a$ et $b$ soient entiers, $a \leq b$...
  • OShine
    OShine
    Ok merci donc ça fait $(b-a+1) \dfrac{a+b}{2}$

    Nombre de terme x (1er terme + dernier terme)/2
  • noobey
    noobey
    Super tu connais la formule par coeur...

    On pose S(a,b) la somme de a à b

    Sauf que vu que tu connais la somme de 1 à n S(1,n) tu peux dire que S(a,b) = ...
  • OShine
    OShine
    Je n'ai pas compris l'histoire du $S(a,b)$.
  • noobey
    noobey
    Bon vu qu'il faut tout expliciter avec toi :

    Je pose

    $S(a,b) = \sum_{k=a}^b k$

    Tu connais S(1,n) pour tout n. Comment trouver S(a,b) ?
  • Amathoué
    Amathoué
    Que doit-on ajouter à $S(a,b)$ pour obtenir $S(1,b)$?
  • bd2017
    bd2017
    Bonsoir
    Sinon il y a la démonstration classique $2S(a,b) =\sum_{a}^b k + \sum_a^b (b + a - k)=(a+b)(b-a -1) $
    D'où $S(a,b)=1/2 (a+b)(b-a-1) $
     
  • OShine
    OShine
    Noobey j'avais déjà essayé de faire ça mais je n'ai pas trouvé.

    $\displaystyle\sum_{k=a}^b k = \displaystyle\sum_{k=1}^b k - \displaystyle\sum_{k=1}^{a-1} k \\
    = \dfrac{b(b+1)}{2}- \dfrac{a(a-1)}{2} $
  • noobey
    noobey
    Bah voilà...
  • OShine
    OShine
    Mais après je ne vois pas comment retrouver la factorisation $(b-a+1) \dfrac{a+b}{2}$

    C'était pour le calcul d'une espérance de loi uniforme sur $[|a,b|]$
  • gai requin
    gai requin
    $b(b+1)-a(a-1)=b^2-a^2+a+b=(a+b)(b-a)+a+b=(a+b)(b-a+1)$.
  • noobey
    noobey
    Soit tu developpes les 2 membres si tu connais deja la reponse soit tu factorises un polynome du second degré, bref tu devrais savoir faire ca normalement
  • OShine
    OShine
    Ok merci !
  • Homo Topi
    Homo Topi
    OShine : permets-moi de te conseiller d'essayer de comprendre l'histoire des $S(a,b)$. C'est fondamental et simple, donc tu DOIS savoir faire ça.
  • Alexique
    Alexique
    Tu peux reprendre la démo de Gauss sinon : $$
    \begin{array}{ccccccccc}
    S&=& a& a+1&\cdots& b-1& b\\
    S&=& b&b-1&\cdots& a+1& a\\
    \hline
    2S&=&a+b&a+b&\cdots& a+b &a+b &=& (a+b)(b-a+1)
    \end{array}
    $$ et tu as la réponse factorisée ! Ça sert de savoir ses démonstrations de cours, des fois.

    EDIT : Merci à AD pour la mise en page. Ce n'est qu'une reformulation de bd2017.
  • bd2017
    bd2017
    Bonsoir
    @Alexique je voudrais faire remarquer à @Oshine que le calcul de s(a,b) que tu proposes est celui de mon message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2036530,2036576#msg-2036576 .
    La différence est que la façon dont tu la présentes est plus adaptée à un élève de lycée ou de collège tandis que la mienne s'adresse plus à un agrégatif tel que @Oshine.
     
  • Alexique
    Alexique
    @bd : Tout à fait, j'ai lu un peu vite et j'arrive après la bataille donc je n'invente même pas l'eau froide :-D
    Mais Oshine a-t-il vu le petit changement de variable dans la somme d'une certaine bijection ? Pas sûr...
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