Prépondérance et domination de suites
Bonjour,
je me pose une question qui doit peut-être être triviale, mais qui me bloque dans ma compréhension d'une démonstration.
Il s'agit de celle présentée dans cette vidéo :
L'auteur y réalise un développement asymptotique du terme général d'une série dont il étudie la convergence, et il y affirme qu'un $o(\frac{1}{n})$ est un $O(\frac{1}{n^{2}})$ ?
Pourquoi donc ?
Et enfin, en quoi ce $O(\frac{1}{n^{2}})$ permet de conclure, par comparaison, comme l'indique l'auteur, pour montrer que la série considérée est convergente ?
Le reste de la vidéo ne me pose pas de problème, c'est ce passage que je trouve un peu rapide.
Je vous remercie par avance.
je me pose une question qui doit peut-être être triviale, mais qui me bloque dans ma compréhension d'une démonstration.
Il s'agit de celle présentée dans cette vidéo :
L'auteur y réalise un développement asymptotique du terme général d'une série dont il étudie la convergence, et il y affirme qu'un $o(\frac{1}{n})$ est un $O(\frac{1}{n^{2}})$ ?
Pourquoi donc ?
Et enfin, en quoi ce $O(\frac{1}{n^{2}})$ permet de conclure, par comparaison, comme l'indique l'auteur, pour montrer que la série considérée est convergente ?
Le reste de la vidéo ne me pose pas de problème, c'est ce passage que je trouve un peu rapide.
Je vous remercie par avance.
Réponses
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Un $o(1/n)$ n'est pas en général un $O(1/n^2)$. Au début j'ai eu peur !
Mais ici, si tu fais le développement de Taylor un peu plus loin, tu obtiens effectivement un $O(1/n^2)$.
Avoir un $O(1/n^2)$ permet de conclure car une série $w_n$ telle que $|w_n|\leq C/n^2$ pour $n$ grand, est sommable. -
Donc c'est normal que je tourne en rond, car j'essayais désespérément de comprendre pourquoi l'auteur de la vidéo avait écrit cela.
Tu as donc répondu à mes interrogations. Mais dans la vidéo (si ces concepts sont un peu lointains dans notre esprit, on pourrait croire qu'il affirme ce que j'ai écrit ci-dessus, d'où mon désarroi et mon incapacité à démontrer cette implication, vue qu'elle n'a pas lieu d'être).
Pour la suite, je pense avoir compris, comme on s'est arrangé pour ce qui est devant le $o(\frac{1}{n})$ s'annule, il restera un terme en $\frac{C}{n^{2}}$, terme général d'une série convergente.
Je te remercie vivement pour ton aide. -
Il a dit , on aurait pu écrire. .. sous entendu ln (1+a/n) =a/n+O (1/n^2) au lieu de ln (1+a/n)=a/n+o (1/n) , je ne vois pas d'arnaque.Le 😄 Farceur
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Son sous-entendu m'a fait pensé que $o(\frac{1}{n}) \Rightarrow O(\frac{1}{n^{2}})$.
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Quand même 1/(n\sqrt n) est un petit o de 1/n mais pas un grand O de 1/n^2.Le 😄 Farceur
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