Fonction intégrable

permaths
permaths
dans Analyse
Bonjour à tous,
petite question pour être bien au clair sur le sujet.

Quelle est la différence entre "être une fonction intégrable", "l'intégrale de la fonction est bien définie" et " l'intégrale de la fonction est absolument convergente" ?

Merci par avance.

Réponses

  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Une fonction intégrable et une fonction dont l'intégrale converge absolument c'est la même chose. Si l'intervalle d'intégration est $[0,+\infty[$ par exemple, ça veut dire que $\int_0^A |f(t)|\,{\rm d}t$ a une limite quand $A\to+\infty$.
    Et l'intégrale de la fonction est bien définie ça veut dire, pour une intégrale impropre (i.e. sur autre chose qu'un segment), que les l'intégrales sur des segments inclus dans l'intervalle qui nous intéresse convergent lorsque les bornes des segments tendent vers les bornes de l'intervalle. Dans mon exemple, ça veut dire que $\int_0^A f(t)\,{\rm d}t$ a une limite quand $A\to+\infty$.
  • permaths
    permaths
    donc si la fonction est intégrable, l'intégrale est bien définie ?
    on n' a pas toujours la réciproque ?
  • gebrane
    gebrane
    Calli . Ca dépend si on intègre au sens de Lebesgue ou Riemann.
    Le 😄 Farceur


  • Calli
    Calli
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2036826,2036834#msg-2036834
    Non, c'est le contraire. Si la fonction est intégrable, alors $\int_I f$ est bien définie. Mais la réciproque est fausse.
    Par exemple, $\displaystyle\lim_{A\to+\infty} \int_0^A \frac{\sin (t)}t {\rm d}t$ existe et on le note $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\sin (t)}t {\rm d}t$. Mais $\displaystyle\lim_{A\to+\infty} \int_0^A \left|\frac{\sin (t)}t\right|\, {\rm d}t=+\infty$ donc $t\mapsto\dfrac{\sin (t)}t$ n'est pas intégrable sur $[0,+\infty[$.
  • permaths
    permaths
    donc on peut parler de l'intégrale d'une fonction qui peut être convergente, sans que cette fonction soit intégrable. Ce sont les intégrales semi-convergentes, c'est ça ?
  • Calli
    Calli
    permaths a écrit:
    Ce sont les intégrales semi-convergentes, c'est ça ?

    Oui, c'est le terme.
  • permaths
    permaths
    ok
    merci beaucoup :-)
  • Calli
    Calli
    gebrane : C'est vrai qu'on parle d'intégrales convergentes/semi-convergents plutôt pour l'intégrale de Riemann parce que l'intégrale de Lebesgue permet d'intégrer directement sur un intervalle non borné et parce que les intégrales semi-convergentes qu'on regarde ont en pratique une intégrande continue par morceaux. Donc je parle plutôt pour l'intégrale de Riemann. Mais ce je dis a quand même un sens pour l'intégrale de Lebesgue.
  • gebrane
    gebrane
    Calli, je ne suis pas d'accord avec ta définition dans le début de ton message du mot intégrable. Mais bon, on verra les avis des autres.
    Le 😄 Farceur


  • Calli
    Calli
    Ce que je veux dire c'est que
    Calli a écrit:
    Une fonction intégrable et une fonction dont l'intégrale converge absolument c'est la même chose. Si l'intervalle d'intégration est $[0,+\infty[$ par exemple, ça veut dire que $\int_0^A |f(t)|\,{\rm d}t$ a une limite quand $A\to+\infty$.

    est la définition d'intégrabilité pour l'intégrale de Riemann. Pour l'intégrale de Lebesgue, ça n'est plus la définition car on peut intégrer directement sur $[0,+\infty[$, mais on a toujours : $f:[0,+\infty[\,\to\Bbb R$ est intégrable ssi elle est localement intégrable et $\int_0^A |f(t)|\,{\rm d}t$ a une limite finie quand $A\to +\infty$.
  • gebrane
    gebrane
    Calli
    Puisque personne ne conteste cette phrase Une fonction intégrable est une fonction dont l'intégrale converge absolument. je me résigne et m'incline humblement devant ta majesté.
    Le 😄 Farceur


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