Sans se poser de questions de convergence, tu disposes d'une série de Fourier $\sum_{n \neq 0} \frac{e^{inx}}{2|n|}$ et tu cherches à calculer $\frac{\pi}{2}(c_3(f) + c_{-3}(f))$ donc à vue le résultat doit être $\frac{\pi}{6}$.
Justement je ne vois pas. Je suis bien d'accord qu'on calcule $\frac{\pi}{2}a_3$ à partir des coefficients complexes.
Pour le zero (qui est faux), j'ai utilisé la formule du produit des cosinus. En intégrant on obtient des sinus de zéro à pi.
Je ne sais pas si c'est raisonnable de montrer cela vu que c'est faux mais voilà.
\begin{align*}
\int_0 ^\pi f(t)\cos(3t)dt
&= \int_0 ^\pi \sum \Big(\frac{\cos(nt)}{n}\Big) \cos(3t)dt \\
&= \sum \frac{1}{n} \int_0 ^\pi \cos(nt) \cos(3t) \\
&= \sum \frac{1}{2n} \int_0 ^\pi \big(\cos(n-3)t+\cos(n+3)t\big) dt\\
&=\sum \frac{1}{2n} \Big[ \frac{\sin(n-3)t}{n-3}+\frac{\sin(n+3)t}{n+3}\Big]_{0} ^\pi
\end{align*}
Réponses
Pour la seconde partie c'est très clair.
Peux-u montrer ton calcul pour voir comment tu as obtenu un zero, moi j'obtiens $\frac {\pi}6$
Pour le zero (qui est faux), j'ai utilisé la formule du produit des cosinus. En intégrant on obtient des sinus de zéro à pi.
\begin{align*}
\int_0 ^\pi f(t)\cos(3t)dt
&= \int_0 ^\pi \sum \Big(\frac{\cos(nt)}{n}\Big) \cos(3t)dt \\
&= \sum \frac{1}{n} \int_0 ^\pi \cos(nt) \cos(3t) \\
&= \sum \frac{1}{2n} \int_0 ^\pi \big(\cos(n-3)t+\cos(n+3)t\big) dt\\
&=\sum \frac{1}{2n} \Big[ \frac{\sin(n-3)t}{n-3}+\frac{\sin(n+3)t}{n+3}\Big]_{0} ^\pi
\end{align*}
Tu peux remarquer que
Si $n\neq 3$ alors $\int_0 ^\pi \cos(nt) \cos(3t)=0$ donc ta somme $\sum$ se réduit à $n=3$.
Comment le voit-on ? Juste parce que c'est un produit scalaire ?
Je ne doute pas que le Schtroumpf volant a passé son permis ULM. X:-(
[ je n'ai pas le niveau] [ pour avoir fait Ulm][malheureusement ]