Limite en plus l'infini d'une dérivée

thomson · June 2020

Bonjour, est-il vrai que si f est une fonction définie et dérivable sur R+, alors:
Si la limite en plus l'infini de f(x)/x est plus l'infini, alors la limite en plus l'infini de f'(x) est plus l'infini.

À travers plusieurs exemples, j'ai pu conjecturer que cette assertion semble être vrai. Cependant, il m'est impossible de pouvoir le démontrer.

Qu'en pensez-vous?

AD · June 2020

Que dire de $f:\R\to\R$ définie par $f(x)=x^2+2\sin(x^2)$ ?
Sauf erreur, on a $f'(x)=2x(1+2\cos(x^2))$ qui change de signe périodiquement quand $x\to \infty$.
Alain

Poirot · June 2020

C'est faux, tu peux même avoir $f'(x) < 0$ pour des $x$ arbitrairement grands.

Pour un contre-exemple explicite, il suffit de bidouiller un truc croissant vite entre $n$ et $n+1/3$, constant entre $n+1/3$ et $n+2/3$ puis raccorder les wagons entre $n+2/3$ et $n+1$.

EDIT : la réponse d'AD est beaucoup plus simple !