Convexité

vw
vw
dans Analyse
Si $ h$ est une fonction strictement croissante,positive,de classe $C^{2}$ strictement convexe défini sur $\left]0,r\right]$ avec $ h\left(0\right)=0$ où $r$ est une constante strictement positive
comment on montre que $h\left(\lambda x\right)\leq \lambda h\left(x\right)$ où $0\leq \lambda\leq1 $?
j'ai essayer d'utiliser la définition de la convexité stricte et pour ça je dois prendre deux éléments $0$ et$ x$ pour avoir cette inégalité mais $0 \not\in \left]0,r\right]$ !
Est ce que il ya une autre méthode ?

Réponses

  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    h est définie sur ]0,r] avec h(0)=0 ? Je ne comprends pas. :-S
  • Math Coss
    Math Coss
    La fonction définie par $h(x)=1$ pour $x\in\left]0,3\right]$ semble satisfaire aux exigences, en ajoutant $h(0)=0$ si nécessaire : elle est bien convexe sur $\left]0,3\right]$. En revanche, $\frac{h(\lambda)}{\lambda}\>h(3)$ si $\lambda\in\left]0,1\right[$, c'est-à-dire que la conclusion n'est pas satisfaite.

    Autrement dit, l'énoncé est vérolé – je ne fais que développer les réticences de Calli.
  • gebrane
    gebrane
    Math Coss ta fonction ne satisfait pas aux exigences :-P
    Ton h n'est pas strictement croissant.
    Le 😄 Farceur


  • P.
    P.
    Arretez d'embeter les francais. L'auteur du fil voulait dire qu'il a une fonction continue sur [0,r] et convexe. Alors
    $$h(\lambda x)=h(\lambda x+(1-\lambda)0)\leq \lambda h(x)+(1-\lambda)h(0)=\lambda h(x).$$ Fonction croissante ne sert a rien.
  • gebrane
    gebrane
    caché non pertinent

    P bah il faut expliquer pourquoi cet énonce est faux
    Soit f une fonction definie sur [0,1] qu'on suppose convexe, C², positive strictement croissante seulement sur ]0,1]. Si $f(0)=0$ , montrer que $f(\lambda x)\leq \lambda f (x)$ pour tout $\lambda \in [0,1]$ et pour tout $x\in [0,1]$
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    caché non pertinent

    Bonjour
    J 'ai corrigé une coquille dans mon dernier message.
    Ce que je viens de dire est débile? Vu ce silence intriguant.
    Le 😄 Farceur


  • Calli
    Calli
    Moi j'attends la réponse de vw. Là on parle dans le vide, sans avoir d'énoncé clair. Ça ne sert à rien.
  • gebrane
    gebrane
    caché non pertinent

    Merci Calli pour ta réponse. Ce que j'ai proposé est débile car un contre-exemple saute aux yeux. (C'est ce qui arrive lorsqu'on réfléchit hâtivement.)
    Le 😄 Farceur


  • vw
    vw
    Désolé, j'ai mal exprimé l'enoncé..
    Si $ h$ est une fonction strictement croissante,positive,de classe $C^{2}\left(\mathbb{R}^+\right)$ strictement convexe sur $\left]0,r\right]$ avec $ h\left(0\right)=0$ où $r$ est une constante strictement positive mais la fonction $h:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$
    j'ai essayer d'utiliser la définition de la convexité stricte et pour ça je dois prendre deux éléments $0$ et$ x$ pour avoir cette inégalité mais $0 \not\in \left]0,r\right]$ !
  • gebrane
    gebrane
    tu as h continue en 0^+ donc h est convexe sur [0,r]
    Le 😄 Farceur


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