Équation différentielle d'ordre 2 homogène

Bonjour
On n’y pense pas.

On a trouvé une solution. Il en manque une autre indépendante de la première.

On utilise la méthode de la variation de la constante.

On reporte $y(x)=A(x) e^{r x}$ avec $r$ la racine double et $A$ la fonction à trouver.

On trouve $A''(x)=0.$

Voilà !

Quand on connaît le cours on peut écrire le résultat directement. La solution s’écrit $y(x)=(a+b x)e^{r x }.$

Bonjour,

Oui.

parce que pour une équation d'ordre 1, y'=ay les solutions sont données par une exponentielle,il est donc naturel de tester si une exponentielle e^rx est une solution de ton équation d'ordre 2

Mais YvesM , c 'est grâce à ce test avec l'exponentiel que l équation caractéristique est née pour des eq.diff. à coefficients constants.

Bonjour n.m.
Le fil parle d'une eq.diff et non pas d'un système ! , donc, je ne vois pas ce que tu veux dire.

np
ça je le sais une eq,diff linéaire d'ordre p peut s’écrire sous forme d'une eq.diff matricielle d’ordre 1 : X'(t)=AX(t) et je ne comprends pas toujours la raison profonde que tu évoquais

En notant D l'opérateur de dérivation et I l'identité, si quelqu'un se sent le courage il peut traduire à l'auteur avec des termes simples que le scindage du polynôme de l'équation revient à écrire :
(D - rI)^2 = 0.

Et à traduire, en remplaçant les D par des "prime", que cela revient à résoudre deux équations d'ordre 1.

Mais quant à la raison de pourquoi on a cherché les solutions sous cette forme, je crois qu'il faudrait quelqu'un de versé en histoire des équas diffs, cette interprétation algèbre linéaire étant vraiment "élaborée" bien que très éclairante, mais il faut avoir fait une deuxième année pour ça. J'aurais tendance à dire qu'on est un peu parti à la pêche, de base. Le plus dur devait être d'avoir l'exponentielle.