On donne $\displaystyle (E)$, $\displaystyle t x'(t) =x (1+\ln x - \ln t)$ pour $t>0.$
D'abord on définit si ces expressions existent.
Il faut $\displaystyle t>0$ et $\displaystyle x >0$ (pourquoi ?). Il faut une fonction $x$ dérivable (pourquoi ?).
On cherche donc les fonctions $x$ de la variable muette $t$, dérivables sur $\displaystyle t>0$, positives et qui vérifient $\displaystyle t x'(t) = x(t) (1+ \ln x(t) - \ln t).$
On propose un changement de fonctions : $\displaystyle z(t) = {x(t) \over t}.$ Cette quantité existe sur $\displaystyle t >0.$ Cette fonction $z$ est dérivable (pourqoui ?).
Tu peux alors écrire : $\displaystyle x(t) = t z(t).$ Si la fonction $x$ vérifie $\displaystyle (E)$, la fonction $z$ vérifie ... ??
Réponses
Que trouves-tu pour le 1) ? Puis le 2) ?
On peut t'aider mais pas faire l'exercice à ta place. Dis ce que tu as fait ou ce qui te bloque.
On donne $\displaystyle (E)$, $\displaystyle t x'(t) =x (1+\ln x - \ln t)$ pour $t>0.$
D'abord on définit si ces expressions existent.
Il faut $\displaystyle t>0$ et $\displaystyle x >0$ (pourquoi ?). Il faut une fonction $x$ dérivable (pourquoi ?).
On cherche donc les fonctions $x$ de la variable muette $t$, dérivables sur $\displaystyle t>0$, positives et qui vérifient $\displaystyle t x'(t) = x(t) (1+ \ln x(t) - \ln t).$
On propose un changement de fonctions : $\displaystyle z(t) = {x(t) \over t}.$ Cette quantité existe sur $\displaystyle t >0.$ Cette fonction $z$ est dérivable (pourqoui ?).
Tu peux alors écrire : $\displaystyle x(t) = t z(t).$ Si la fonction $x$ vérifie $\displaystyle (E)$, la fonction $z$ vérifie ... ??
-- Schnoebelen, Philippe
Je trouve $\displaystyle t z'(t) = z(t) \ln z(t), t >0.$
C'est une équation à variables séparables. Tu peux aussi calculer $\displaystyle {d \over dt} {\ln z(t) \over t}$ pour la résoudre.
Donc tu résous pour obtenir $z$, puis tu en déduis $x.$