Compacité, max et continuité

@gimax on peut procéder ainsi pour montrer que $S$ est continue en un point $x_0$ :

Soit $\varepsilon >0$. Pour tout $y\in X$, par continuité de $f$ en $(x_0,y)$, il existe un voisinage ouvert $V_{y}$ de $x_0$ et un voisinage ouvert $W_y$ de $y$ tels que $\forall (x,y') \in V_{y}\times W_{y}, \; |f(x,y')-f(x_0,y)|\leq \varepsilon$.

Par compacité de $X$, il existe un entier $n$ et $y_1,...,y_n\in X$ tels que $X=\bigcup\limits_{i=1}^{n} W_{y_i}$. On peut sans perte de généralité supposer que $y_n$ vérifie $f(x_0,y_n)=S(x_0)$.
On pose $V:=\bigcap\limits_{i=1}^n V_{y_i}$. Il ne reste qu'à vérifier que $V$ est un voisinage de $x_0$ qui fait l'affaire.

En effet, soit $ y\in X$. Il existe $i\leq n$ tel que $y\in W_{y_i}$ et donc $\forall x\in V, \; |f(x,y)-f(x_0,y_i)|\leq \varepsilon$.

On a donc : $\forall x\in V,\; f(x,y)\leq f(x_0,y_i)+\varepsilon \leq S(x_0)+\varepsilon$. Vu que $y$ est quelconque ceci implique $\forall x\in V,\; S(x)\leq S(x_0)+\varepsilon$.

Pour finir, $\forall x\in V,\; |f(x,y_n)-f(x_0,y_n)| \leq \varepsilon$. Donc $ S(x_0)-\varepsilon = f(x_0,y_n)-\varepsilon \leq f(x,y_n)\leq S(x)$.

En conclusion, $\forall x\in V,\; |S(x)-S(x_0)|\leq \varepsilon$.

Si tu es d' accord je vais (ou un autre) chercher une preuve valable dans $\R^n $ pour voir si on peut la calquer pour un métrique (tout ça c'est pour le plaisir et ne comprend pas mal mes propos )

En fait on peut aussi faire une preuve séquentielle lorsque $X$ est un espace topologique en utilisant des suites généralisées (aussi appelées filets). C'est à peine plus compliqué qu'avec des suites classiques car le principe est vraiment le même. Mais leur usage n'a pas l'air très répandu, donc je pense que la preuve de Raoul satisfera plus la majorité des gens.

Dans la preuve de raoul, je ne vois pas
On peut sans perte de généralité supposer que $y_n$ vérifie
$f(x_0,y_n)=max_{y\in K}f(x_0,y)$.

Merci je vais regarder en fumant une cigarette B-)-

Tu as déjà oublié le code Poirot ? Dernière la fumée, il y a MSE

Je choisis les Smiley de couleurs vertes exprès.

supp

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2039662,2040248#msg-2040248
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2039662,2040260#msg-2040260

Je me suis dit que j'allais détailler cette histoire de filet car ils sont pratiques pour généraliser les raisonnements séquentiels en topologie générale.

$\textbf{Définition :}$ Un filet (ou suite généralisée, ou net) sur un espace topologique $X$ est une application $x:I\to X$ où $I$ est un ensemble non vide muni d'un ordre filtrant croissant (i.e. chaque paire est majorée). On aime bien noter le filet sous la forme $(x_i)_{i\in I}$. Par exemple, en prenant $I=\Bbb N$, on retrouve les suites classiques.

$\textbf{Définition :}$ Un filet $(x_i)$ converge vers $a\in X$ si, pour tout voisinage $V$ de $a$ : $\exists i_0\in I, \forall i\in I, i \geqslant i_0\Rightarrow x_i\in V$.

$\textbf{Proposition :}$ Une application $f:X\to Y$ entre deux espaces topologiques est continue en $a\in X$ ssi, pour tout filet $(x_i)$ de $X$ convergeant vers $a$, le filet $(f(x_i))_{i\in I}$ converge vers $f(a)$.

Preuve : Appliquer les définitions pour le sens direct. Et faisons la réciproque par contraposée. Si $f$ n'est pas continue en $a$, alors il existe un voisinage $V$ de $f(a)$ tel que, pour tout voisinage $U$ de $a$, $f(U)\not\subset V$. Posons $I \displaystyle=\bigcup_{U\text{ voisinage de }a} \{U\}\times (U\setminus f^{-1}(V))$ qu'on munit de l'ordre tel que $(U,x)\leqslant (U',x') \Leftrightarrow U\supset U'$. Alors, on vérifie que $(U,x)\mapsto x$ est un filet indexé par $I$ qui converge vers $a$ et dont l'image ne converge pas vers $f(a)$.

$\textbf{Proposition :}$ Soit $(x_i)$ un filet sur un espace quasi-compact $X$. Alors $x$ possède une valeur d'adhérence, i.e. un élément $a\in X$ tel que pour tout voisinage $V$ de $a$ : $\forall i_0\in I,\exists i\geqslant i_0, x_i\in V$.

Preuve : Par l'absurde. Sinon, tout $a\in X$ possède un voisinage $V_a$ tel que : $\exists i_a\in I,\forall i\geqslant i_a, x_i\not\in V_a$. On extrait un sous-recouvrement fini $V_{a_1},\dots,V_{a_n}$. Il existe $\iota\in I$ majorant $i_{a_1},\dots,i_{a_n}$. Alors $x_\iota$ n'est dans aucun $V_{a_k}$, donc il n'est pas dans $X$ : absurde.

Preuve de l'énoncé de ce fil : Soient $x\in X$ et $(x_i)_{i\in I}$ un filet de $X$ convergeant vers $x$. Montrons que $(S(x_i))$ converge vers $S(x)$. Soit $\varepsilon >0$. Soit $x'\in X$ tel que $S(x)=f(x,x')$.
1) Par continuité de $f$ en $(x,x')$, il existe un voisinage $U\times V$ de $(x,x')$ sur lequel $f$ est supérieur à $S(x)-\varepsilon$. Soit $i_0$ tel que : $\forall i\geqslant i_0, x_i\in U$. Alors : $\forall i\geqslant i_0, S(x_i)\geqslant f(x_i,x')\geqslant S(x)-\varepsilon$.
2) Ensuite, supposons par l'absurde l'inexistence de $i_1$ tel que : $\forall i\geqslant i_1, S(x_i)\leqslant S(x)+\varepsilon$. Soient $J=\{(i,y)\in I\times X\mid S(x_i)> S(x)+\varepsilon \text{ et } f(x_i,y)=S(x_i)\}$ muni de l'ordre tel que $(i,y)\leqslant (i',y')\Leftrightarrow i\leqslant i'$, et le filet $z : (i,y)\in J\mapsto y$. On vérifie que $z$ est bien un filet (ici on utilise la compacité, et plus précisément le théorème de la borne atteinte, pour montrer que l'ordre sur $J$ est filtrant croissant). Alors $z$ possède une valeur d'adhérence $a$. Soit $U'\times V'$ un voisinage de $(x,a)$ sur lequel $f$ est inférieur à $f(x,a)+\varepsilon$. Il existe $\iota\in I$ tel que : $\forall i\geqslant\iota, x_i\in U'$. Et il existe $(i,y) \in J$ avec $i\geqslant\iota$ tel que $y=z_{(i,y)}\in V'$ (ici on utilise l'hypothèse absurde). Donc $$S(x)+\varepsilon<S(x_i) =f(x_i,y)\leqslant f(x,a)+\varepsilon\leqslant S(x)+\varepsilon.$$ C'est absurde, donc : $\exists i_1,\forall i\geqslant i_1, S(x_i)\leqslant S(x)+\varepsilon$.
3) Alors n'importe quel majorant de $i_0$ et $i_1$ est un rang à partir duquel $|S(x_i)-S(x)|<\varepsilon$. CQFD

PS: J'ai pris soin de ne pas utiliser l'axiome du choix. Y avoir recours peut simplifier la rédaction (par exemple en faisant, pour tout $i$, un choix de $y_i$ tel que $f(x_i,y_i)=S(x_i)$).

Ma preuve n'est finalement pas plus simple que celle de Raoul, mais elle montre que les filets peuvent être bien utiles quand on a trouvé un raisonnement de type séquentiel et qu'on manque d'inspiration pour en trouver un purement topologique (je veux dire : juste avec des histoires d'ouverts, de fermés, etc.).

@side j'ai quand même un doute sur ta preuve.

En effet tu prends un $x\in \overline A$ et tu dis qu'il existe une suite $(x_n)$ dans $A$ qui converge vers $x$. Mais justement ceci n'est pas vrai dans les espaces topologiques généraux. Dans les espaces métriques oui mais autrement pas forcément.

D'ailleurs après une recherche sur Wikipedia j'ai trouvé que les espaces topologiques qui jouissent de cette propriété portent un nom : Espaces de Fréchet-Urysohn. Les espaces métriques sont donc des espaces de Fréchet-Urysohn mais il se trouve que les espaces compacts ne le sont pas en général.

D'ailleurs l'espace $I^I$ avec $I=[0,1]$ devrait être un contre-exemple comme indiqué ICI.

Edit : OK j'ai posté un poil après Calli

gimax a écrit:

Est-ce qu'on pourrait se passer d'un raisonnement par l'absurde dans la preuve (celle de mon énoncé) et adapter vraiment la preuve que j'ai donnée dans le cas métrique ? Ou bien est-ce qu'un raisonnement direct est vraiment plus long qu'un raisonnement par l'absurde ?

Oui. En fait l'adaptation aux espaces non métriques de ton raisonnement, c'est ce qu'a fait Raoul. En tout cas, c'est ma façon de voir les choses.

gmax
MSE est le site suivant https://math.stackexchange.com/questions/3735262/if-fx-sup-y-in-kgx-ya-continuous-function-on-topological-space/3735495#3735495

Ta preuve utilisant l'uniforme continuité, tu l'as compliqué à mon avis on peut procéder comme dans https://math.stackexchange.com/questions/698150/is-fx-sup-y-in-kgx-y-a-continuous-function

Je pose souvent des questions posées ici sur MSE pour explorer d'autres méthodes

D'après ce que j'ai compris, les filtres sont préférés en France et les filets sont plutôt utilisés par des anglophones. Mais ces deux notions sont équivalentes dans le sens où toute propriété sur les filtres possède un analogue avec des filets et réciproquement. On a une sorte de dualité : à un filet est associé le filtre des parties dans lesquelles le filet tombe à partir d'un certain rang, et à tout filtre possède un filet qui lui est associé. NB: Je ne sais pas si on peut rendre rigoureuse ma remarque "toute propriété sur les filtres possède un analogue avec des filets et réciproquement", mais en tout cas en pratique je l'ai toujours vu être vérifiée.

L'avantage des filets c'est qu'ils sont plus intuitifs car il ressemble aux suites classiques ; c'est pour cela que je les préfère. Mais il y a plusieurs définitions de sous-filets qui cohabitent. Je crois qu'elles sont plus ou moins équivalentes, sauf une qui est clairement plus faible ("sous-filet fréquent", cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_généralisée#Sous-filets). La raison c'est que ce sont les filtres qui sont les vrais objets intrinsèques et donc, en ce sens, ils sont meilleurs. Mais je préfère les filets, car plus intuitifs pour moi comme je l'ai dit.

Humm cette démonstration utilises AC en tout cas

Raoul a écrit:

Humm cette démonstration utilises AC en tout cas

Oui. Mais si je n'ai pas fait d'erreur, j'ai montré un moyen de ne pas utiliser AC ici grâce au principe : au lieu de faire un choix d'un élément qui convienne, je prends à la fois tous les éléments qui conviennent.

PS: Merci au modérateur qui a mis la discussion dans la bonne section.

Raoul a écrit:

Par contre je n'ai toujours pas compris quand tu dis "au lieu de faire un choix d'un élément qui convienne, je prends à la fois tous les éléments qui conviennent".

Ce que je veux dire c'est que dans ma preuve de "$f$ continue ssi pour tout filet $(x_i)$ convergeant vers $a$, $(f(x_i))$ converge vers $f(a)$" (cf. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2039662,2040658#msg-2040658), j'aurais pu choisir (avec AC) dans chaque voisinage $U$ de $a$ un élément $x_U\in U\setminus f^{-1}(V)$ et définir un filet $(x_U)_{U\text{ voisinage de }a}$ en ordonnant les voisinages de $a$ par l'inclusion inverse. Mais au lieu de ça, j'ai pris pour chaque voisinage $U$ de $a$ tous les élément de $U\setminus f^{-1}(V)$. Aucun choix à faire, je les prends tous ! Et comme on a quand même besoin d'ordonner les valeurs que prend notre filet, on étiquette chaque valeur avec l'un des $U$ et on les ordonne selon l'inclusion inverse. Est-ce plus clair ?

Raoul a écrit:

En reprenant tes notations de ce message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2039662,2040658#msg-2040658 si tu as $(U,x)$ et $(U,x')$ avec $x\neq x'$, quel est un majorant de ces deux éléments ?

Ouais, d'accord ça n'est pas totalement évident (et je viens de voir que j'avais raté un petit point, mais c'est sans conséquence). On doit distinguer plusieurs cas :

• Si parmi $U$ et $U'$ aucun n'est inclus dans l'autre, alors $U\cap U'$ est un voisinage de $a$ strictement inclus dans $U$ et $U'$. Par hypothèse, il existe $y\in U\cap U' \setminus f^{-1}(V) \neq\varnothing$. Alors $(U\cap U',y)$ est un majorant de $(U,x)$ et $(U,x')$.
• Si $U\subsetneq U'$, alors $(U,x)$ majore la paire. De même si $U'\subsetneq U$.
• Si $U=U'$, alors :
  • Soit il existe un voisinage $U''$ de $a$ tel que $U''\subsetneq U$. Dans ce cas, il existe $y\in U'' \setminus f^{-1}(V) \neq\varnothing$, donc $(U'',y)$ majore la paire.
  • Soit $a$ possède un voisinage $U$ minimal pour l'inclusion et dans ce cas mon filet n'en est en fait pas un et il faut traiter ce cas à part (c'est le point que j'avais raté). Mais c'est facile : il existe $y\in U\setminus f^{-1}(V) $ et le filet $\{*\}\to X, * \mapsto y$ converge vers $a$ mais son image par $f$ ne converge pas vers $f(a)$.

Es-tu convaincu ?

supp

Bon, après m'être fait ridiculiser dans l'autre fil, je propose une démonstration sans filets. Bon, ça doit toujours tourner autour des mêmes choses (j'avoue que je n'ai pas lu en détail les vôtres).

Soit $X$ un espace compact (séparé). Soit $f : X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ continue.

Posons $m_f := x \mapsto \max_{y \in X} f(x,y)$. On se propose de démontrer que $m_f$ est continue.

Posons $F := \{(x,y) \in X \times X \ \vert \ f(x,y) = m_f(x)\}$.

Sur $X\times X$, soit $\sim$ la relation "avoir la même première coordonnée", i.e. pour tout $x,y,y' \in X$, $(x,y) \sim (x,y')$ et il n'y a pas d'autres couples en relation.

1) Démontrons que $F$ est compact.
Soit $(x,y) \not \in F$. Soit $y_0 \in X$ tel que $f(x,y_0) = m_f(x)$. Alors $f(x,y) < f(x,y_0)$. Notons $\epsilon := f(x,y_0) - f(x,y)$.
Soit $U$ un voisinage ouvert de $(x,y_0)$ dans $X\times X$ tel que $f$ est strictement minorée par $f(x,y_0) - \epsilon/2$ dessus.
On peut supposer que $U = U_1 \times U_2$ où $U_1$ et $U_2$ sont des ouverts de $X$.
Soit $V$ un voisinage ouvert de $(x,y)$ dans $X\times X$ tel que $f$ est strictement majorée par $f(x,y) + \epsilon/2$ dessus.
On peut supposer que $U = U_3 \times U_4$ où $U_3$ et $U_4$ sont des ouverts de $X$.
Si on pose $V_1 := U_1 \cap U_3$ et $V_2 := U_4$, on a que pour tout $(a,b) \in V_1\times V_2$, $f(a,b) < f(x,y) + \epsilon/2 < f(x,y_0) - \epsilon/2 < f(a,y_0) \leq m_f(a)$.
Donc $(x,y) \in V_1\times V_2 \subset F^c$ et donc $F^c$ est un voisinage de $(x,y)$.
Donc $F$ est fermé. Et donc, comme $X\times X$ est compact, $F$ est compact.

2) Soit $i : F \rightarrow X\times X$ l'application d'inclusion. Elle passe au quotient en une application $\tilde{i} : F/\sim \rightarrow X\times X/\sim$ et on va démontrer que $\tilde{i}$ est un homéomorphisme.

Tout d'abord, $\tilde{i}$ est trivialement injective, et est surjective car $F$ intersecte toute partie de $X\times X$ de la forme $\{x\}\times X$.

De plus, $\tilde{i}$ est continue. En effet, $i$ est continue, sa composée avec la projection $X\times X \rightarrow X\times X/\sim$ est continue et cette fonction-ci est continue et constante sur les classes dans $F$ pour $\sim$ donc $\tilde{i}$ est continue.

De plus, $F/\sim$, comme image continue de $F$ par la projection canonique, est un espace quasi-compact ; donc, par le "théorème d'homéomorphisme d'un compact vers un séparé", $\tilde{i}$ est un homéomorphisme.

3) Soit $r : X \rightarrow F/\sim$ l'application qui à tout $x$ associe l'ensemble des $(x,y)$ qui sont des éléments de $F$.

Alors $r$ est continue. En effet, soit $x_0 \in X$. Alors $r$ est la composée de l'application qui à $x$ associe le couple $(x,x_0)$ et de $\tilde{i}$ qui sont toutes deux continues.

4) La restriction de $f$ à $F$ passe au quotient en une application continue $\tilde{f} : F/\sim \rightarrow \mathbb{R}$ car $f$ est continue et constante sur les classes dans $F$ pour $\sim$.

5) On a que $m_f$ est la composée de $r$ avec $\tilde{f}$ qui sont toutes deux continues. Donc $m_f$ est continue.