Calcul d'une intégrale

Bonjour,

Ma nièce de dix ans sait le faire. Elle te demande de dériver $\displaystyle x\mapsto erf(\sqrt{x-1}).$

Moi je ne sais pas qui est $erf$, j'en ai vaguement entendu parler mais je ne l'ai jamais fréquenté.
Alors Changement de variable $t:= \sqrt {x^2-1}$, par exemple.
Bon courage bd2017.
Fr. Ch.

Mon "ti-frère" a fait mieux que la nièce de YvesM
il pose $x^2=t$, il arrive à $$
\frac12 \int_1^{+\infty} \frac{e^{-at}}{\sqrt{t-1}}dt = \frac{e^{-a}}2\int_0^{+\infty} \frac{e^{-aX}}{\sqrt{X}} dX=\frac{e^{-a}}2\frac{\sqrt \pi}{\sqrt a}.
$$

bonsoir

notre ami Gebrane a semble-t-il commis une petite erreur : le résultat de l'intégration est (avec a > 0)$$e^{-a^2}\frac{\sqrt{\pi}}{2a}$$

on pose x = cht (cosinus hyperbolique) et l'intégrale I devient : $I = \int_0^{+oo}e^{-a^2ch^2t}cht.dt$ or $ch²t = 1 + sh²t$

soit u = sht et l'intégrale devient $I = \int_0^{+oo}e^{-a²(1+u²)}du = e^{-a^2}\int_0^{+oo}e^{-a^2u^2}du = e^{-a^2}\frac{\sqrt{\pi}}{2a}$

d'après les résultats connus de la fonction Gamma ou de l'intégrale de Laplace-Gauss.

cordialement