Moi je ne sais pas qui est $erf$, j'en ai vaguement entendu parler mais je ne l'ai jamais fréquenté.
Alors Changement de variable $t:= \sqrt {x^2-1}$, par exemple.
Bon courage bd2017.
Fr. Ch.
Mon "ti-frère" a fait mieux que la nièce de YvesM
il pose $x^2=t$, il arrive à $$
\frac12 \int_1^{+\infty} \frac{e^{-at}}{\sqrt{t-1}}dt = \frac{e^{-a}}2\int_0^{+\infty} \frac{e^{-aX}}{\sqrt{X}} dX=\frac{e^{-a}}2\frac{\sqrt \pi}{\sqrt a}.
$$
Le changement de variable de @Chaurien et même celui du "ti-frère de Gebrane aussi. En fait je n'ai bêtement pas essayé, en pensant que j'allais retrouver tout de même une racine à cause du dx; mais ce n'est pas le cas.
Bref, la petite nièce de Y. M a dû lui dire de penser à dériver $erf(-a\sqrt{x^2-1})$ et non $erf(\sqrt{x-1})$
En tout cas l'idée est là.
Mon ami Jean Lismonde, il n ' y a pas d'erreurs,le calcul était fait sur la base de l’intégrale $$\int_1^\infty \dfrac{e^{-a x^2} x}{\sqrt{x^2-1}} dx .$$
Réponses
Ma nièce de dix ans sait le faire. Elle te demande de dériver $\displaystyle x\mapsto erf(\sqrt{x-1}).$
Très aimable... Et tu as oublié un carré sur le $x$.
Alors Changement de variable $t:= \sqrt {x^2-1}$, par exemple.
Bon courage bd2017.
Fr. Ch.
Ma nièce dit qu’elle n’a rien oublié. Suis l’indication et trouve une primitive.
il pose $x^2=t$, il arrive à $$
\frac12 \int_1^{+\infty} \frac{e^{-at}}{\sqrt{t-1}}dt = \frac{e^{-a}}2\int_0^{+\infty} \frac{e^{-aX}}{\sqrt{X}} dX=\frac{e^{-a}}2\frac{\sqrt \pi}{\sqrt a}.
$$
Merci pour vos réponses.
Le changement de variable de @Chaurien et même celui du "ti-frère de Gebrane aussi. En fait je n'ai bêtement pas essayé, en pensant que j'allais retrouver tout de même une racine à cause du dx; mais ce n'est pas le cas.
Bref, la petite nièce de Y. M a dû lui dire de penser à dériver $erf(-a\sqrt{x^2-1})$ et non $erf(\sqrt{x-1})$
En tout cas l'idée est là.
notre ami Gebrane a semble-t-il commis une petite erreur : le résultat de l'intégration est (avec a > 0)$$e^{-a^2}\frac{\sqrt{\pi}}{2a}$$
on pose x = cht (cosinus hyperbolique) et l'intégrale I devient : $I = \int_0^{+oo}e^{-a^2ch^2t}cht.dt$ or $ch²t = 1 + sh²t$
soit u = sht et l'intégrale devient $I = \int_0^{+oo}e^{-a²(1+u²)}du = e^{-a^2}\int_0^{+oo}e^{-a^2u^2}du = e^{-a^2}\frac{\sqrt{\pi}}{2a}$
d'après les résultats connus de la fonction Gamma ou de l'intégrale de Laplace-Gauss.
cordialement