Continuité et différentiabilité sur R²

Bonjour


La technique :

On suppose que |x|<1 donc

L'inégalité est fausse OK.

$|f(x,y)|\leq \dfrac{| x^3 y|}{x^2+y^2}\leq x^2 +y^2 $ ce qui montre que f est différentiable en (0,0).....
D'abord tu peux mettre cela en place.

Pour la classe $C^1$ il y a encore un peu de travail.

Rebonjour
Oui mon inégalité est fausse (j'ai donc barré le message) et alors il faut reprendre à zéro. i.e

Montrer la continuité en $(0,0)$.
Pour cela on majore $|f(x,y)|$
Si $x=0$ ou $y=0 $, $|f(x,y)|=0 $
Si $x\neq 0$ et $y\neq 0 $ on a:

$|f(x,y)|\leq \min\Big( \dfrac{|x| ^3|y|}{|x|^4}, \dfrac{|x| ^3|y|}{|y|^2}\Big)=\min\Big(u, \dfrac{x^2}{u}\Big) ,\ $ où j'ai posé $u=\dfrac{|y|}{|x|}.$
Majorer encore $\min\Big(u, \dfrac{x^2}{u}\Big)$ par une petite étude, ce majorant tendant vers 0 cela assurera la continuité.

Pour la différentiabilité il faut étudier d'abord l'existence des dérivées partielles en (0,0)

Oui @Julien merci de le préciser.

Mais elle n'est pas différentiable en $(0,0)$.

donc $\dfrac{x^3y}{x^4+ y^2} \leq \dfrac{x^3y}{2 x^2 y}\leq \frac1 2 x $ c'est plus rapide, ($x>0 ,\ y>0 $).

Et maintenant, la non-différentiabilité...

Considérant les applications partielles, on voit que si la fonction $f$ était différentiable en $(0,0)$, alors sa différentielle en ce point serait nulle, ce qui se traduirait par : $\underset{(x,y)\rightarrow (0,0),(x,y)\neq (0,0)}{\lim }\frac{f(x,y)}{%
\left\Vert (x,y)\right\Vert }=0$, ni plus, ni moins. Conclure à une contradiction.