Inégalités et partie entière
Bonjour,
Je suis bloquée dans cet exercice, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ? Excusez-moi s'il a déjà été posté sur le forum, je ne l'ai pas trouvé.
Soient $a$ et $b$ des entiers positifs. Montrer que pour tout réel $x$ on a l'égalité : \[E\Big(\frac{x}{ab}\Big) =E\Big(\frac{1}{b} E\big(\frac{x}{a}\big)\Big).
\] Il faut montrer que $E(\frac{x}{ab}) \geq E(\frac{1}{b} E(\frac{x}{a}))$ et que $E(\frac{x}{ab}) \leq E(\frac{1}{b} E(\frac{x}{a}))$.
J'ai commencé par faire :
$\frac{x}{a} \geq E(\frac{x}{a})$ par définition
$\Leftrightarrow \frac{x}{ab} \geq \frac{1}{b} E(\frac{x}{a})$ car $b > 0$
$\Leftrightarrow E(\frac{x}{ab}) \geq E(\frac{1}{b} E(\frac{x}{a}))$ car $x \mapsto E(x)$ est croissante.
Mais pour montrer $E(\frac{x}{ab}) \leq E(\frac{1}{b} E(\frac{x}{a}))$ je suis bloquée. En partant "à l'envers", on a :
$E(\frac{x}{ab}) \leq E(\frac{1}{b} E(\frac{x}{a}))$
$\Leftrightarrow \frac{1}{b} E(\frac{x}{a}) \geq \frac{x}{ab}$ car $x \mapsto E(x)$ est croissante
$\Leftrightarrow E(\frac{x}{a}) \geq \frac{x}{a}$ car $b > 0$, or ça me semble faux (?)
J'ai essayé autrement en partant de $\frac{x}{ab} \leq \frac{x}{a}$ car $b > 0$.
$\Leftrightarrow E(\frac{x}{ab}) \leq E(\frac{x}{a})$ car $x \mapsto E(x)$ est croissante. Mais je ne vois pas comment continuer.
Merci pour votre aide.
Je suis bloquée dans cet exercice, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ? Excusez-moi s'il a déjà été posté sur le forum, je ne l'ai pas trouvé.
Soient $a$ et $b$ des entiers positifs. Montrer que pour tout réel $x$ on a l'égalité : \[E\Big(\frac{x}{ab}\Big) =E\Big(\frac{1}{b} E\big(\frac{x}{a}\big)\Big).
\] Il faut montrer que $E(\frac{x}{ab}) \geq E(\frac{1}{b} E(\frac{x}{a}))$ et que $E(\frac{x}{ab}) \leq E(\frac{1}{b} E(\frac{x}{a}))$.
J'ai commencé par faire :
$\frac{x}{a} \geq E(\frac{x}{a})$ par définition
$\Leftrightarrow \frac{x}{ab} \geq \frac{1}{b} E(\frac{x}{a})$ car $b > 0$
$\Leftrightarrow E(\frac{x}{ab}) \geq E(\frac{1}{b} E(\frac{x}{a}))$ car $x \mapsto E(x)$ est croissante.
Mais pour montrer $E(\frac{x}{ab}) \leq E(\frac{1}{b} E(\frac{x}{a}))$ je suis bloquée. En partant "à l'envers", on a :
$E(\frac{x}{ab}) \leq E(\frac{1}{b} E(\frac{x}{a}))$
$\Leftrightarrow \frac{1}{b} E(\frac{x}{a}) \geq \frac{x}{ab}$ car $x \mapsto E(x)$ est croissante
$\Leftrightarrow E(\frac{x}{a}) \geq \frac{x}{a}$ car $b > 0$, or ça me semble faux (?)
J'ai essayé autrement en partant de $\frac{x}{ab} \leq \frac{x}{a}$ car $b > 0$.
$\Leftrightarrow E(\frac{x}{ab}) \leq E(\frac{x}{a})$ car $x \mapsto E(x)$ est croissante. Mais je ne vois pas comment continuer.
Merci pour votre aide.
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Réponses
On se place dans l'intervalle $[0,ab[$. Montrons que tout $x$ de l'intervalle vérifie $E(\frac{x}{ab})=E(\frac{1}{b} E(\frac{x}{a}))$.
$\forall x \in [0,ab[$, on a : $0 \leq x < ab$.
$\Leftrightarrow 0 \leq E(\frac{x}{ab}) < 1$ et $0 \leq E(\frac{1}{b} E(\frac{x}{a})) < 1$.
Alors $E(\frac{x}{ab})=E(\frac{1}{b} E(\frac{x}{a}))=0$
On se place maintenant dans l'intervalle $[nab,(n+1)ab[$ avec $n \in \mathbb{Z}$.
$\forall x \in [nab,(n+1)ab[$, on a :
$nab \leq x <(n+1)ab$
$\Leftrightarrow n \leq E(\frac{x}{ab}) <n+1$ et $n \leq E(\frac{1}{b} E(\frac{x}{a})) <n+1$
Alors $E(\frac{x}{ab})=E(\frac{1}{b} E(\frac{x}{a}))=n$. Or ceci reste vrai pour tout $n$ entier relatif, on en déduit que $\forall x \in \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} [nab,(n+1)ab[ = \mathbb{R} : E(\frac{x}{ab})=E(\frac{1}{b} E(\frac{x}{a}))$.
Merci pour ton aide side !
Dans premier message, tu as commis deux fois l'erreur de dire que $x\leqslant y\Leftrightarrow E(x)\leqslant E(y)$. Le sens $\Rightarrow$ est vrai mais pas $\Leftarrow$ car la fonction $E$ a des paliers (par exemple, $E(0{,}5)\leqslant E(0)$ mais $0{,}5>0$). Cette équivalence serait vraie si $E$ était une fonction strictement croissante.
$$\left \lfloor \frac{\lfloor x \rfloor}{n} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{x}{n} \right \rfloor.$$
Démonstration. On appelle $\{ x\}$ la partie fractionnaire de $x$ et on effectue la division euclidienne de $\lfloor x \rfloor$ par $n$, i.e. $\lfloor x \rfloor = qn + r$ avec $0 \leqslant r \leqslant n-1$. Ainsi, d'une part
$$\left \lfloor \frac{\lfloor x \rfloor}{n} \right \rfloor = \left \lfloor q + \frac{r}{n} \right \rfloor = q$$
car $0 \leqslant r < n$, et d'autre part
$$\left \lfloor \frac{x}{n} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{\lfloor x \rfloor + \{ x\} }{n} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{qn+r+\{x\}}{n} \right \rfloor = q + \left \lfloor \frac{r + \{x\}}{n} \right \rfloor = q$$
puisque $0 \leqslant r + \{x\} < n$.
$q = \left[\dfrac{x}{ab}\right]$ est le quotient de la division euclidienne de x par ab
edit grillé par ndt