Résolution d'une edo de second ordre

kirou
kirou
dans Analyse
Bonjour, j'ai cette équation différentielle : $$y''-y=\frac{1}{\cosh^3(x)}.

$$ J'ai résolu l'équation homogène, la solution générale est donnée par $$ y_h=A\exp(x)+B\exp(-x).

$$ Et puis j'applique la méthode de la variation de la constante.
Mais quand j'ai vu la solution, après avoir trouvé la solution de l'equation homogène ils ont construit deux autres solutions $\sinh$ et $\cosh$ et après ils ont appliqué la méthode de la variation de la constante pour la solution homogène $y=A\cosh(x)+B\sinh(x).$
Pourquoi ils ont fait ça ? Est-ce que c'est juste pour faciliter les calculs ?
Merci.

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    caché non pertinent
    si le terme source était un mélange (produit ,somme) de cosh ou sinh, je serais d'accord mais la le terme source est l'inverse de cosh, je doute qu’une solution particulière s’écrit comme combinaison linéaire de cosh et sinh https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''-y=\frac{1}{\cosh^3(x)}
    Le 😄 Farceur


  • kirou
    kirou
    Voici les calculs.105064
    105066
    1.png 83.8K
    2.png 35.1K
  • Chaurien
    Chaurien
    L'ensemble des solutions de l'équation sans second membre est un espace vectoriel de dimension 2, dont on connaît explicitement une base: $ x\mapsto e^x$ et $ x\mapsto e^{-x}$, comme tu dis.
    Mais on peut décrire cet espace au moyen de n'importe laquelle de ses bases. On peut choisir une autre base, si l'on espère simplifier ainsi les calculs des solutions de l'équation complète par la méthode de variation des constantes.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • kirou
    kirou
    Par cette méthode le résultat final $$ y=\frac12\frac{\cosh(x)}{\sinh^2(x)}+c_1\cosh(x)+\tanh(x)\sinh(x)+c_2\sinh(x).

    $$ Mais [si] je remplace dans l'équation je ne trouve pas $1/\cosh^3(x)$.

    Où est le problème ?
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=(-1/2+cosh(x)/sinh^2(x)++cosh(x)+tanh(x)sinh(x)+sinh(x))''-(-1/2+cosh(x)/sinh^2(x)++cosh(x)+tanh(x)sinh(x)+sinh(x))
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    L'implication $\displaystyle u'(x) = {1 \over \cosh^3 x}$ donc $\displaystyle u(x) = {1 \over 2} {1 \over \sinh^2 x} + k_1$ est grossièrement fausse.
  • kirou
    kirou
    c'est vrai c'est $-1/(2\cosh^2(x))+k$
    merci je vais revoir les calculs
  • kirou
    kirou
    et meme comme ca en remplaçant je ne trouve pas 0

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=(-+1/(2cosh(x))++cosh(x)+tanh(x)sinh(x)+sinh(x))''-(-+1/(2cosh(x))++cosh(x)+tanh(x)sinh(x)+sinh(x))-1/cosh^3(x)
  • kirou
    kirou
    Merci de m'aider s'il vous plait est ce que cette méthode est juste ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Ta relation, même modifiée, sur $u$ est grossièrement fausse.

    Tu as $u’$. Tu calcules $u$. Vérifie en dérivant $u.$
  • kirou
    kirou
    Non j'ai fait une erreur de frappe $u=-\dfrac{1}{2\cosh^2(x)}+c.$
    Puis la solution générale est $$y=-\frac12\frac{1}{\cosh(x)}+c_1\cosh(x)+\tanh(x)\sinh(x)+c_2 \sinh(x).$$
  • kirou
    kirou
    Ah c'est c'est $\frac{1}{2\cosh^2(x)}$+c
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    @kirou : On atteint le moment où j’écris : sans déconner ?

    Tu as $u’.$ Tu calcules un $u$, faux, après quatre tentatives.

    Je t’ai demandé de vérifier en calculant la dérivée de $u.$ C’est ce que je fais pour savoir que ton résultat est grossièrement faux.

    Je ne dis pas que le résultat est simple ou facile. Trouver une primitive n’est pas commode. Mais calculer la dérivée pour vérifier est facile.

    Mais montre comment tu calcules cette primitive au lieu de donner des résultats faux.
  • gebrane
    gebrane
    kirou,puisque la nièce de YvesM ne veut pas t'aider. Mon "Ti-frère" te dit ceci
    $$\int \frac1{\cosh^3(x)}dx=\int \frac{8e^{3x}}{(e^{2x}+1)^3}$$ et tu poses $e^x=u$ et il faut savoir, comment on calcule $\int \frac 1{(u^2+1)^3}du$
    Le 😄 Farceur


  • YvesM
    YvesM
    Bonjour

    Voici des indications :
    - calculer la dérivée de $\displaystyle x\mapsto {\sinh x\over \cosh^2 x}$,
    - puis celle de $\displaystyle x\mapsto \arctan(\tanh x)$,
    - $\displaystyle \sinh^2 x=\cosh^2 x-1.$
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