Fonctions analytiques et anneau intègre

Bonjour à tous.
Je voudrais prouver.

L'anneau $(\mathcal{A}(U),+,.)$ des fonctions analytiques est un anneau intègre si et seulement si $U$ est connexe
j'ai prouvé les deux directions simplement mais j'aime les preuves de la même proposition avec des méthodes différentes pour bien comprendre les théorème et élargir la pensée donc je passe à la contraposée de la condition d'anneau intègre.

Donc je vais supposer que $ f \neq 0 $ et $g\neq 0$ et montrer que $f.g \neq =0 $ sur $ U $ connexe.

Alors d’après théorème des zéros isolés alors les zéros de $f $ et $g$ sont isolés donc,
il existe [un] voisinage $V_1$ de $z_0$ un zéro de $f$ tel que : $ f(z)=(z-z_0) h_1(z)$ avec $h_1 $ analytique et ne s'annulant pas sur $V_1$.
Il existe voisinage $V_2$ de $z_1$ un zéro de $g$ tel que : $ g(z)=(z-z_1) h_2(z)$ avec $h_2$ $U$-analytique et ne s'annulant pas sur $V_2$.
J'ai trouvé ce cas :
$V_1 \cap V_2 = \emptyset $ et $f=0$ sur $U\setminus \left\{ {V_1 \setminus \{ {z_0}\} } \right\}$ et $g=0$ sur $U\setminus \left\{ {V_2 \setminus \{ {z_1}\} } \right\}$
Oh contradiction, mais après j'ai ri de moi car dans ce cas les zéros ne sont pas isolés.
Je trouve une ambiguïté quand je décris le cas général pour compléter le raisonnement.
voir dessous la preuve de Ahmed Lesfari dans [le] livre variable complexe. Je n'en étais pas convaincu pour cette démonstration.