On ne peut pas. Il s'agit du produit de convolution pour des fonctions définies sur le groupe $(\mathbb R^{+*}, \times)$ muni de sa mesure invariante $\frac{\mathrm{d}t}{t}$.
La formule de convolution "classique" que tu connais concerne le groupe $(\mathbb R, +)$ muni de sa mesure invariante $\mathrm{d}t$.
Bonjour,
On peut quand même dire que $g\star_{[0,+\infty[} f(y) =( g\circ \exp) \star_{\Bbb R} ( f\circ \exp) (\ln y)$ par changement de variable sur l'intégrale ($\star_{[0,+\infty[} $ est la convolution que tu as défini et $ \star_{\Bbb R}$ est la convolution usuelle).
Bonjour,
est-ce quelqu'un connaît une définition/a une référence au sujet de la convolution en général ?
C'est-à-dire, un concept qui lie la convolution usuelle sur $\mathbb R^n$, la convolution donnée ici sur $\mathbb R_+^*$ la convolution de Dirichlet ou encore la «convolution» utilisée dans la multiplication des séries entières/des polynômes ?
Est-ce qu'il existe, comme précédemment avec $\ln : (\mathbb R_+^*, \cdot) \longrightarrow (\mathbb R, +)$ un lien possible entre des endroits où l'on peut définir la convolution (en gros, des convolutions associés à des «morphismes») ?
Les convolutions ci dessus concernent toutes les groupes commutatifs. Pour repondre a ta question, lis les deux premiers chapitres de Fourier Analysis on Groups, Walter Rudin, Interscience 1963.
On peut faire de la convolution sur les groupes non commutatifs, mais c'est beaucoup plus difficile. Commencer par lire The Haar Measure , Leopoldo Nahbin
Réponses
La formule de convolution "classique" que tu connais concerne le groupe $(\mathbb R, +)$ muni de sa mesure invariante $\mathrm{d}t$.
On peut quand même dire que $g\star_{[0,+\infty[} f(y) =( g\circ \exp) \star_{\Bbb R} ( f\circ \exp) (\ln y)$ par changement de variable sur l'intégrale ($\star_{[0,+\infty[} $ est la convolution que tu as défini et $ \star_{\Bbb R}$ est la convolution usuelle).
Merci pour votre reponse. C'est résolu !!
Il l'a dit c'est résolu, donc surement ce que tu as dit lui plait bien .
est-ce quelqu'un connaît une définition/a une référence au sujet de la convolution en général ?
C'est-à-dire, un concept qui lie la convolution usuelle sur $\mathbb R^n$, la convolution donnée ici sur $\mathbb R_+^*$ la convolution de Dirichlet ou encore la «convolution» utilisée dans la multiplication des séries entières/des polynômes ?
Est-ce qu'il existe, comme précédemment avec $\ln : (\mathbb R_+^*, \cdot) \longrightarrow (\mathbb R, +)$ un lien possible entre des endroits où l'on peut définir la convolution (en gros, des convolutions associés à des «morphismes») ?
On peut faire de la convolution sur les groupes non commutatifs, mais c'est beaucoup plus difficile. Commencer par lire The Haar Measure , Leopoldo Nahbin
En revanche, si je me place dans $(\mathbb N^*, \cdot)$ (pour la convolution de Dirichlet), je n'ai même pas de structure de groupe...