Somme double

Peut-être ça peut t’aider
https://math.stackexchange.com/questions/197496/series-involving-catalan-and-zeta
https://carma.newcastle.edu.au/resources/jon/Preprints/Papers/Back Burner I/Salt/zucker-madelung.pdf
https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rspa.2007.0162
Pendant le confinement dans un topic quelqu’un avait parlé de Otto Dunkel memorial problem book paraît-il dans ce livre faut regarder le problème 10

Avez-vous ce livre à porter de main
https://www.amazon.co.uk/Lattice-Sums-Encyclopedia-Mathematics-Applications/dp/1107039908
Y a des sommes similaires avec trois variables etc...

Bonjour
Est ce que quelqu’un peut expliquer cette preuve arithmétique de $$\sum_{n,m=1}^{\infty}\frac1{(n^2+m^2)^s}=\zeta(s)\beta(s)-\zeta(2s),$$ C'est la première fois que j'entends une convolution arithmétique

C'est ce que j'ai fait au-dessus :

1. Tu identifies ta série comme une série de Dirichlet qui n'est autre ici qu'une fonction zêta de Dedekind d'un corps de nombres abéliens, en l'occurrence un corps quadratique ;

2. Dans le demi-plan $\sigma > 1$, la formule analytique du nombre de classes te permet de factoriser cette fonction zêta de Dedekind en un produit d'une fonction zêta de Riemann et d'une fonction $L$ de Dirichlet associée au caractère primitif de Dirichlet de ton corps quadratique ;

3. Il n'y a plus qu'à évaluer ce produit au point désiré (ici $s=2$). Dans le message au-dessus, j'ai utilisé l'identité "connue" $L(2,\chi_4) = G$. C'est, en soi, une identité non triviale.

Merci pour les mp explicatifs, merci aussi à ndt.
Les arithméticiens font de belles choses. Comme analyste j’étais incapable d’exhiber la valeur de cette somme mais pour sa convergence, c'est accessible ( comparaison avec une intégrale double)

( je comprends le choix de poirot de poursuivre dans ce domaine même si il est excellent partout)
Si une autre personne à une idée pour calculer cette somme qu'il n’hésite pas