Nature d'une certaine suite

Ah oui, bien vu ! Bel exercice !

Je donne juste une indication qui sert dans les deux implications : $ \forall n\in\N, 4u_{n+1}(u_{n+1}-u_n)=f(n)$.
Il y a une petite discussion à effectuer sur le fait que la suite $(f(n))_{n\in\N}$ est entièrement nulle ou non.

Ah tiens, c'est astucieux.

Comme $u_n^2+f(n)^2\ge u_n^2$, on voit que la suite est croissante et, comme l'a fait remarquer Piteux_gore, positive à partir du rang $1$. En écartant le cas où elle est constante et nulle, cela entraîne que $u_n\ge u_1>0$ pour $n\ge1$ et donc, asymptotiquement, $f(n)$ est négligeable devant $u_n^2$. On fait un développement asymptotique : \begin{align*}u_{n+1}-u_n&=\frac{1+\left(1+\frac{f(n)}{u_n^2}\right)^{1/2}}{2}u_n-u_n\\
&=\frac{1}{4}\,\frac{f(n)}{u_n}+o\Bigl(\frac{f(n)}{u_n}\Bigr)
\end{align*}Ainsi, la suite $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum \frac{f(n)}{u_n}$ converge.

Si la série $\sum f(n)$ converge, alors a fortiori $\sum\frac{f(n)}{u_n}$ aussi (par la majoration $u_n\ge u_1>1$) et la suite $(u_n)$ converge donc.

Inversement, puisque si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $\ell>0$ et $\frac{f(n)}{u_n}\sim\frac{f(n)}{\ell}$ donc les deux séries sont de même nature.

MrJ :
Dans ton 2), l'hypothèse sur la convergence de la suite $(a_n)_{n\in\N}$ est inutile. En effet, si la suite $u$ converge alors $a_n^2=4u_{n+1}(u_{n+1}-u_n)\rightarrow 0$.

Ta formulation est exactement celle que j'ai mise dans ma feuille d'exercices sur les séries... il y a 3 ans.