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jared94 · June 2020

Bonjour,

j'ai une question de topologie :
Dans $\R^2$, existe-il une distance $d$ et une boule pour cette distance qui ne soit pas connexe ?

Autrement dit, une boule dans $\R^2$ est-elle toujours connexe ? (quelque soit la distance)

Si quelqu'un a une piste...

Poirot · June 2020

Que penses-tu de la distance triviale ($d(x,y)=1$ si $x \neq y$) ?

jared94 · June 2020

Avec cette distance, il me semble qu'une boule est soit un singleton (le centre), soit $\R^2$.
L'un des deux n'est pas connexe ?

Lupulus · June 2020

$\Bbb R^2$ muni de la topologie discrète n'est pas connexe.

jared94 · June 2020

Ah oui on peut écrire $\R^2= B(0,1)\cup ^cB(0,1)$ .
C'est une union disjointe de deux ouverts non vides !

Merci beaucoup !

marsup · June 2020

Si c'est pour étudier des distances donnant une autre topologie que "celle de $\R^2$", à quoi sert-il de considérer $\R^2$ en particulier plutôt que $\R$, ou que n'importe quel autre ensemble en bijection ?

gebrane · June 2020

Bonjour Poirot. Avec ta distance, c'est qui cette boule qui n'est pas connexe (son centre et son rayon).

bisam · June 2020

Par exemple, la boule de centre n'importe quoi et de rayon 2.

gebrane · June 2020

Bisam, je vois étrangement que la boule du centre 0 et de rayon 2 est tout l'espace car d (0,x) est 0 $\leq 2 $ si x=0 et d (0,x) est $1\leq 2$ si $x\neq 0$

edit1 dans mon esprit etourdi, l espace R^2 ne pouvait pas être égale à une boule car sinon le rayon serait infini

edit 2 j'ai posé cette question usr MSE https://math.stackexchange.com/questions/3738812/a-ball-that-can-cover-all-the-space?noredirect=1#comment7687539_3738812 Au début j'ai reçu un réponse que c'est impossible avec un médaillé en or, il a vite effacé sa réponse sans laisser de trace.

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