Injection de Sobolev

Imi · June 2020

salut,
comment montrer que :
$\forall u \in H^{1}_{0}, \mid\mid u\mid\mid_r \leq C_{*} \mid\mid\nabla u\mid\mid_2, 2\leq r\leq \frac{2n}{n-2}, 3\leq n$
la constante $C_{*} $dépend de $ \Omega $ et $r$

Mickaël · June 2020

Bonjour, que cherches-tu exactement ? À montrer le résultat par toi-même en demandant une indication / trame de preuve ? Ou une référence qui le fait ?

gebrane · June 2020

Tu googles Poincaré–Sobolev inequalities,

Imi · June 2020

j'ai utilisé le fait que $\mid\mid u\mid\mid_{r}\leq C\mid\mid u\mid\mid_{\infty} $puis$ \mid\mid u\mid\mid_{\infty}\leq C^{'}\mid\mid\nabla u\mid\mid_{2} \forall u\in H^1_{0}\left(\Omega\right)$ mais je suis pas sure ..si cette inégalié est valable $ \mid\mid u\mid\mid_{\infty}\leq C^{'}\mid\mid\nabla u\mid\mid_{2} \forall u\in H^1_{0}$

O.G. · June 2020

L'inégalité n'est pas valable (sauf en dimension 1). Si elle l'était on ne se fatiguerait pas à donner un intervalle pour $r$ dans les inégalités de Sobolev...

Imi · June 2020

oui ..vous avez raison.
j'ai trouvé la réponse.Merci

Mickaël · July 2020

Bonjour,

Tu trouveras toutes les preuves avec une recherche google ou dans "Sobolev Spaces" de Adams.

Sinon je te conseille fortement de regarder ce que l'hypothèse $\nabla u f \in L^2$ implique pour $u$ en écrivant une formule de Taylor intégral à l'ordre 1.

Injection de Sobolev

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