Somme d'une série

Gebrane:
Fais le changement de variable $y=\dfrac{1}{1+x}$

PS:
Sauf erreur, on obtient: $\displaystyle \int_{0}^{1}{\left. \frac{\left( y-1\right) \ln{(y)}}{{{y}^{2}}+1}dy\right.}$

PS2:
Après tu décomposes cette intégrale en une somme de deux intégrales et dans l'une des deux tu fais le changement de variable $z=y^2$.

Gebrane:

Ce changement de variable permet de se ramener à une intégrale de type $\displaystyle \int_0
^1 (...)dx$ et, en même temps, il est facile de voir que :

$\displaystyle \frac{x \ln(1+x)}{(1+x)(x^2+2x+2)}=\frac{x\ln(1+x)}{(1+x)\Big((1+x)^2+1\Big)}$

Donc on a bien envie de faire le changement de variable $y=1+x$ puis $z=\dfrac{1}{y}$ ce qui peut être fait en un seul changement de variable $z=\dfrac{1}{1+x}$