Comparaison de fonctions

kirou · June 2020

Bonsoir,
s'il vous plaît comment montrer que si une fonction $f$ est négligeable devant $g$ alors $f$ est dominée par $g$ ?

Et comment expliquer que l'inverse n'est pas toujours vérifié ?

Merci.

gerard0 · June 2020

Bonjour.

"comment montrer" : en appliquant les définitions (et celle de la limite)
"comment expliquer" en trouvant un contre-exemple (il y en a de très simples), c'est-à-dire une g dominée par f, mais pas négligeable.

Si tu as compris les définitions, tu peux le faire toi-même. Bon travail personnel !

NB. Si tu butes, viens expliquer ce que tu as fait, on t'aidera à continuer.

kirou · June 2020

Merci, s'il vous plaît j'ai une autre question. Est-ce que ces propriétés sont vraies uniquement au voisinage d'un point ?
C'est-à-dire est-ce que c'est vrai au voisinage de l'infini ?
Merci.

Math Coss · June 2020

Oui, les relations $f\sim g$, $f=O(g)$, $f=o(g)$ ont un sens au voisinage de l'infini. Par exemple, la dernière se définit en $+\infty$ par : \[\forall\epsilon>0,\ \exists A>0,\ \forall x\ge A,\ \bigl|f(x)\bigr|\le \epsilon\bigl|g(x)\bigr|.\]

kirou · June 2020

J'ai compris comment montrer que négligeable implique dominée,
mais pour montrer que l'inverse est faux, j'ai trouvé l'exemple suivant.

$x\cos(x)=O(x)$ mais $x\cos(x)\neq o(x)$ en tout point $x_0\in\mathbb{R}$.

Je ne comprends pas pourquoi $x\cos(x)\neq o(x)$, alors que $\lim_{x\to\pi/2}\frac{x\cos(x)}{x}=0/ $
Où est le problème ?
Merci.

Math Coss · June 2020

Il est vrai que $x\cos x=o(x)$ au voisinage de $\pi/2$.

Il est faux que $x\cos x=o(x)$ au voisinage de $0$ ou au voisinage de $+\infty$ car on n'a pas $\lim_{x\to0}\cos x\ne0$ (la limite vaut $1$) et pas non plus $\lim_{x\to+\infty}\cos x=0$ (la limite n'existe pas).

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