Suite et série

Salut,
En posant $y_n = \sqrt n \,x_n$, on a $y_{n+1} = f_n(y_n)$ avec $\displaystyle f_n :y\mapsto \sqrt{1+\frac1n} \cdot \int_0^{y}\left[ \cos\left(\frac{u}{\sqrt n}\right)\right]^n{\rm d}u$. Or $f_n$ converge uniformément sur les compacts vers $f:y\mapsto \displaystyle \int_0^{y}e^{-u^2/2}\,{\rm d}u$. Et $f$ a un unique point fixe $\ell$ strictement positif qui vaut environ $1{,}1$ et qui est attractif, donc on peut penser que $x_n \sim \frac\ell{\sqrt{n}}$.

Edit : La dernière phrase est fausse. Voir mon troisième message.

Exact. J'ai corrigé en rajoutant un facteur $\sqrt{1+\frac1n}$.

supp

Poirot : Je savais que $\cos^n(t)$ ressemble autour de 0 à une gaussienne dont la largeur rétrécit, donc j'ai fait le bon changement de variable pour stabiliser cette gaussienne et j'ai vu apparaître $y_n$.

Tous : Je me suis trompé en disant que $f$ a un unique point fixe strictement positif. Je me suis embrouillé dans les $\sqrt\pi$, $\sqrt2$, etc. en traçant la fonction sur Geogebra. C'est une fonction strictement concave avec $f(0)=0$ et $f'(0)=1$, donc elle n'a qu'un point fixe qui est 0. De plus, $$f(y) = y - \frac16 \left.\frac{{\rm d}^2 e^{-u^2/2}}{{\rm d}u^2}\right|_u y^3 +o(y^3) = y - \frac{y^3}6 +o(y^3) .$$ Les suites récurrentes du type $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $u_0>0$ vérifient $u_n \sim \sqrt{\frac3n}$. Donc si on avait $y_n \sim \sqrt{\frac3n}$, on aurait $x_n \sim \frac{\sqrt3}n$... MAIS $f_n'(0)=\sqrt{1+\frac1n}>1$ ce qui risque de perturber pas mal les choses...

Si quelqu'un prouve $x_n^2=o(\frac{1}{n})$, j'ai ensuite la preuve que $x_n$ est équivalent à $\frac{\sqrt{6}}{n}$, ce qui rejoins parfaitement la conjecture de Math Coss.

Posons pour tout $n\in\N$, $F_n:x\mapsto \int_0^x \cos^n (t)dt$.
Alors $F_n$ est $C^{\infty}$ sur $\R$ et c'est la primitive qui s'annule en 0 d'une fonction paire donc elle est impaire.

On a alors : $\forall n\in\N, x_{n+1}=F_n(x_n)$.
Si on change $x_0$ en son opposé, toute la suite est donc changée en son opposé.

Par ailleurs $x_1=x_0$ et $x_2=\sin(x_1)=\sin(x_0)\in [-1,1]$.
Si $x_2=0$ alors le reste de la suite est nul.

Dans la suite, on supposera (sans perte de généralité d'après les remarques précédentes) que $x_2>0$.
On a alors immédiatement : $\forall n\geq 2, 0\leq x_{n+1}\leq x_n \leq x_2 \leq 1<\frac{\pi}{2}$ donc la suite $(x_n)_{n\geq 2}$ est décroissante minorée donc convergente.
De plus, $\forall n\geq 2, x_n\leq W_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n(t)dt$ et puisque $W_n$ est équivalent à $\sqrt{\frac{\pi}{2n}}$, on en déduit que $x_n=O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ et en particulier $x_n\rightarrow 0$.
Correction effectuée ci-dessus, sur une remarque de side.
Ensuite, j'ai utilisé un DL de $F_n$, pour obtenir $x_{n+1}=x_n-\dfrac{nx_n^3}{6}+O(nx_n^4)$ que je nomme $(*)$ mais je me rends compte en me relisant qu'il aurait fallu une formule de Taylor avec reste un peu mieux maîtrisé pour y arriver.

Avec un petit coup de Cesaro sur la puissance $-2$ de la relation $(*)$ et en admettant que $nx_n^2\rightarrow 0$ (que je nomme $(**)$), on conclut.
On peut aussi arriver à $(**)$ en montrant que $x_{n+1}$ est équivalent à $x_n$... mais je n'ai pas réussi non plus.

Pardon, c'est une coquille... Je corrige.

Je pense qu'on peut faire plus simple. Usuellement, etanche donne des exercices tirés d'oraux accessibles à des Bac+2.

Quand à mon "Cesaro" mal expliqué, il consistait simplement à écrire : $x_{n+1}^{-2}=x_n^{-2}\times\left(1-\dfrac{nx_n^2}{6}+O(nx_n^3)\right)^{-2}$ puis faire un DL et sommer en utilisant soit le théorème de Cesaro, soit un théorème de sommation de $O(...)$.
Comme tu l'as remarqué, il faut avoir prouvé que $nx_n^2=o(1)$, ce que je n'ai pas fait, mais toi oui... mais d'une façon un peu trop complexe à mon goût.

Ma réponse (second message) ne fournit-elle pas une solution élémentaire à la question initiale?

Édit : Je suis allez un peu vite pour conclure. Ma majoration est juste, mais elle ne permet pas de conclure facilement comme je l’ai écris.

Pour avoir des idées https://math.stackexchange.com/questions/3742273/study-convergence-of-series

Là, ça me plaît plutôt pas mal ! Bien joué.
Je ne trouve pas que la domination soit si dure que cela, mais je n'aurais jamais pensé à utilisé les valeurs d'adhérence pour montrer que $nx_n^2=o(1)$.

La limite sup n'a pas été au programme de prépa depuis au moins 25 ans.
Les valeurs d'adhérence ne sont actuellement au programme que des MPSI, mais pas des PCSI. Même le théorème de Bolzano-Weierstrass n'est pas connu des PCSI.
La compacité se limite au cas des espaces vectoriels normés de dimension finie pour tous les élèves de prépa.

Il n'en reste pas moins que cette preuve est plutôt jolie, même si j'espère que l'on doit puisse encore la simplifier.

Un tweet du professeur Roger Mansuy:

bisam écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2043362,2044544#msg-2044544

Bonjour, je cherche à déterminer la nature de la série de terme général $u_n$ où $u_0$ est un réel quelconque et
$$u_{n+1}=\int_0^{u_n}(\cos(t))^ndt.

$$ Je sais dire des choses : $u_1=u_0$, $u_2=\sin(u_2)$. Ainsi $u_2$ est compris entre $1$ et $-1$ puis une récurrence permet de montrer que les termes suivants sont tous compris entre $1$ et $-1$ puisque le cosinus sous l'intégrale est borné par $1$. L'inégalité triangulaire permet ensuite de dire que la suite $(|u_n|)$ décroit. Comme elle est minorée par 0, elle converge. J'ai l'impression qu'avec un peu de convergence dominée, on va pouvoir montrer que la suite $(u_n)$ converge vers 0. Mais évidemment, ce n'est pas suffisant pour étudier ma série. J'aimerais bien avoir un équivalent de $u_n$ mais je n'ai pas la moindre idée de la façon dont il faut s'y prendre ?