Inégalité et développement limité
Réponses
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Regarde la correction! Kappa ^^
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Je ne dispose pas de correction.
D'habitude en analyse j'ai des idées de recherche mais là les questions je ne vois rien.
A part calculer la dérivée $k$ ième de $h_n$ mais ça m'a l'air bien trop compliqué. -
(a) $h_n$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\R$ et périodique. Par conséquent, toutes ses dérivées sont bornées.
(b) i. Un équivalent donne immédiatement le résultat.
(b) ii. Puisque $h_n$ est au moins $k$ fois dérivable, la partie régulière du développement limité de la dérivée $k$-ème de $h_n$ coïncide avec la dérivée $k$-ème de la partie régulière du développement limité de $h_n$. -
L'expression exacte est compliquée mais ne saute-t-il pas aux yeux que $h_n^{(k)}$ est un polynôme en $\sin t$ et $\cos t$, c'est-à-dire une somme finie de fonctions de la forme $t\mapsto c_{a,b}\cos^at\sin^bt$ ? N'est-il pas alors évident que l'on peut prendre $K=\sum_{a,b}|c_{a,b}|$ ?
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Montrer qu'il existe K tel que ....
Bon. Comment on va faire ?
Déjà, au brouillon, je vais essayer de déterminer le K en question. bien sûr, si je prends K = 100000000000000000000000, ça devrait marcher,
Mais essayons de voir quelle valeur minimale de K convient. Quand j'aurais une bonne idée de la valeur minimale pour K, peut-être que je saurais trouver la démonstration.
Mais si je n'ai pas la moindre idée de l'ordre de grandeur de ce K, ça reste trop abstrait.
Et je peux commencer en regardant ce qui se passe avec n=2, puis 3 puis 4... Peut-être que la bonne piste, ce serait une démonstration par récurrence ?
Si je n'essaie rien, c'est sûr que je ne trouverai pas.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
La récurrence j'y ai pensé mais ça ne marche pas. On n'a pas l'expression de la dérivée $k$ ième de $h$.
Math Coss je vois l'idée mais galère à rédiger correctement.
Bisam j'avais oublié le théorème : toute fonction périodique continue par morceaux est bornée.
$\sin(t) \sim t$ donc $\sin^n (t) \sim t^n$ donc $\boxed{\sin^n(t)= t^n + o(t^n)}$
Je n'ai rien sur la dérivation d'un DL dans mon cours. Pourtant je chapitre sur les DL fait 50 pages.
Votre théorème est-il hors programme ? -
Posons $f(t)=t^n$
$f'(t)=nt^{n-1}$ puis $f''(t)=n(n-1) t^{n-2}$
$f^{(k)} (t) = n(n-1) \cdots (n-k+1) t^{n-k} = \dfrac{n!}{(n-k)!} t^{n-k}$
D'où le résultat. Il y a juste le point obscure avec la dérivation d'un DL sinon c'était assez facile en fait. -
Oshine : tu n'as rien sur la dérivée des DL... et pour cause, on ne peut rien dire en général.
En revanche, on peut intégrer les DL.
Je te laisse trouver comment on obtient du coup le résultat que j'ai annoncé. -
Bonne remarque.
Toute fonction continue sur un intervalle est bornée.
Si $f$ est continue en $a \in \R$ alors :
$\forall \varepsilon>0 \ \exists \eta>0 \ \forall x \in \R \ \ |x-a| \leq \eta \implies |f(x)-f(a)| \leq \varepsilon$
Au voisinage de $a$ on a donc $| f(x) -f(a) | \leq 1$
Or $|f(x)| \leq |f(a)| + |f(x)-f(a)|$ donc $|f(x)| \leq |f(a)| +1$ au voisinage de $a$ ce qui montre que $f$ est bornée au voisinage de $a$.
Je ne vois pas à quoi sert la périodicité ici. -
Bisam on intègre $k$ fois.
Quand on intègre un DL il ne faut pas oublier la constante $F(0)$ si $F$ est une primitive de $f$.
Mais je ne sais rien sur une primitive de la dérivée $k$ ième de $f$, ce n'est pas très clair. -
Montre d'abord le théorème suivant :Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ contenant $a$ et si $f'$ possède un DL d'ordre $n$ en $a$ alors $f$ possède un DL d'ordre $n+1$ en $a$.
De plus, si $A$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $n+1$ tel que $f(a+h)=A(h)+o(h^{n+1})$ lorsque $h\rightarrow 0$ alors $f'(a+h)=A'(h)+o(h^n)$ lorsque $h\rightarrow 0$.Ensuite, tu peux l'appliquer $k$ fois de suite...
C'est ce que j'ai dit plus haut... mais avec d'autres mots car tu ne sembles pas avoir compris. -
La première c'est du cours.
Ça me semble facile à démontrer. Il suffit de dériver et d'écrire la definiton de epsilon.
Mais pourquoi ajouter la condition sur le degré ? -
Si $f(x)=A(x)+o(x^n)=A(x)+ \varepsilon(x) x^n$ où $\varepsilon \longrightarrow 0$
Alors $f'(x)=A'(x) + \varepsilon '(x) x^n + nx^{n-1} \varepsilon(x)$
C'est étrange de dériver un DL on ne sait même pas si $\varepsilon$ est dérivable en $0$.
Et $\varepsilon '(x) x^n + nx^{n-1} \varepsilon(x) = o(x^{n-1})$ -
D'ailleurs c'est faux en général. Exemple : $f(x)=x^7\sin\frac1{x^9}$ si $x\ne0$, $f(0)=0$ : alors $f$ admet un DL à l'ordre $6$ mais $f'$ n'est pas continue en $0$.
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Bizarre la fonction... Comment savez vous qu'elle admet un DL à l'ordre 6 en 0 ?
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Parce que $\bigl|\frac{f(x)}{x^6}\bigr|\le |x|$.
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D'où $f(x)= o(x^6)$ ?
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OShine écrivait:
> Posons $f(t)=t^n$
....
> D'où le résultat. Il y a juste le point obscure
> avec la dérivation d'un DL sinon c'était assez
> facile en fait.
Quel rapport entre ta fonction $f$ et la fonction $h_n$ donnée ? -
Je n'ai écrit qu'une seule propriété... Pourquoi parles-tu de la "première" ?Oshine a écrit:La première c'est du cours.
C'était juste pour éviter d'avoir à écrire tout le développement limité avec des coefficients.Oshine a écrit:Mais pourquoi ajouter la condition sur le degré ?
J'utilise en fait la définition de la partie régulière d'ordre $n$ d'une fonction au voisinage d'un point, mais cela aussi, tu sembles l'avoir "oublié".
Bah oui, c'est normal... ce n'est pas ainsi qu'il faut faire puisque ce n'est pas vrai en général !Oshine a écrit:Ça me semble facile à démontrer. Il suffit de dériver et d'écrire la definiton de epsilon.
[...]
C'est étrange de dériver un DL on ne sait même pas si $\varepsilon$ est dérivable en 0.
Donc, finalement, si on résume, tu n'as pas réussi à répondre à la question en utilisant l'indication et tu n'as pas non plus réussi à prouver l'indication.
Tu n'as pas non plus réussi à prouver la première question ; tu réponds à côté de la plaque.
En fait, j'en viens à me demander si je t'ai déjà vu rédiger rigoureusement et entièrement la réponse à une seule des questions que tu as posées sur ce forum. -
Désolé d'en rajouter une couche, mais j'ai l'impression que personne n'a réagi à : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2043482,2043600#msg-2043600
C'est évidemment une grosse sottise.OShine a écrit:Toute fonction continue sur un intervalle est bornée. -
Oui, mais cette bêtise est-elle de niveau MP ?
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Oui, c'est une erreur MP "Matrise Partielle de son cours"Le 😄 Farceur
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Bisam en même temps je comprends rien à votre résultat je ne l'ai jamais vu dans les 50 pages du cours sur les développements limités.
Pourtant le cours est interminable.
Je l'ai relu aucune mention de la dérivation des DL.
Votre première phrase c'est le théorème sur la primitive d'un DL.
La deuxième après le de plus je n'ai jamais vu ça dans aucun cours. -
Pour le coup ça c'est vrai je pense!
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Toute fonction périodique continue par morceaux est bornée.
En effet, si $f$ est continue sur le segment $[0,T]$ elle est bornée sur $[0,T]$.
Or $\forall x \in [0,T] \ f(x+T)=f(x)$ donc $f$ est aussi bornée sur $[T,2T]$ et par récurrence on a le résultat.
Pour les théorèmes sur les DL je capte rien. -
Mh interessant:Toute fonction périodique continue par morceaux est bornée.
Peux-tu appliquer ta preuve à la fonctionLe 😄 Farceur -
Mdr ca c'est une démonstration typiquement Oshinenne.
Déjà tu pars d'une fonction continue et non continue par morceaux.
Ensuite tu nous dis que si f est bornée sur [0,T] elle l'est sur [T,2T] aussi super et donc par récurrence elle est bornée sur [nT,(n+1)T] pour tout n je suis entièrement dacord avec toi.
En quoi ca conclut que f est bornée?
Si je prends f(x)=x elle est bornée sur [n,n+1] pour tout n pourtant -
Une fonction continue par morceaux doit avoir deux demi-limites à gauche et droite partout.
La fonction tangente n'est donc pas continue par morceaux.
Il me semble, à moi aussi, vrai qu'une fonction continue par morceaux soit bornée sur tout compact.
C'est (un peu) lié au fait qu'une fonction cpm s'intègre toujours correctement sur un segment. -
La fonction tangente n'est pas continue par morceaux.
Il faut que pour chaque intervalle ouvert de la subdivision la fonction soit prolongeable par continuité sur l'intervalle fermé. -
En éditant , une partie de mon message a été effacé je considère la fonction f égale à la tangente sur
sur $]-\frac {\pi}2,\frac {\pi}2[\cup ]\frac {3\pi}2,\pi[$ après je continue par périodicité. Il me semble que cette fonction est continue par morceaux dans $ D_f$ dans le sens où elle est continue sur chaque segment [a,b] inclut dans $D_f$Le 😄 Farceur -
$f$ est continue sur $[0,T]$ donc bornée. Comme $f$ est périodique de période $T$, elle est bornée par la même borne sur chaque période donc elle est bornée.
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Oui voilà
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Ok c'est pas une perle,
Voir par exemple ici pour la définition de continue par morceaux
continue par morceaux -
bd2017 la fonction que j'ai donné est-elle continue par morceaux sur son D_f :-DLe 😄 Farceur
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C'est compliqué les maths, la moindre imprécision et on a tout faux.
Le premier point de Bisam c'est du cours :
Soit $I$ un intervalle d'intérieur non vide contenant $0$ et $f$ une fonction définie sur $I$ possédant un DL à l'ordre $n$ en $0$ de partie régulière $x \mapsto \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k x^k$. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ alors $F$ admet un DL à l'ordre $n+1$ en $0$ dont la partie régulière est $x \mapsto F(0)+ \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{a_k}{k+1} x^{k+1}$
Le 2ème point je ne vois pas comment faire. -
Alors là, c'est carrément extraordinaire !!
Si tu appliques ton théorème à ma fonction $f'$, qu'obtiens-tu ?
Quel lien y a-t-il entre la partie régulière de $F$ et celle de $f$, dans ton théorème ? Et si tu l'appliques à mon $f'$ ?
Ca me fait penser à un élève de 4ème à qui on demande d'appliquer le théorème de Pythagore, qui réussit à dire : "le triangle PQR est rectangle en P" mais qui n'arrive pas à conclure parce que "SON" théorème parle d'un triangle nommé ABC... -
Ça donne le résultat mais il reste du f(0).
Quand on remonte de la dérivée kieme et qu'on primitive il faut prouver que toutes les primitives sont nulles en 0.
Ce qui a l'air logique car on dérive une puissance de sinus donc il restera toujours du sinus. -
La logique m'a l'air bizarre.
Le théorème sur les primitives dit que si $f$ admet un DL d'ordre $n$ en $0$ alors $F$ admet un DL d'ordre $n+1$ en $0$ et la partie régulière est une primitive $+ F(0)$
Or ici on a besoin de la réciproque.
Par ailleurs on ne connait pas le DL de $h_n ^{[n-k)}$.
Je ne comprends pas la logique de la dernière question. -
Premièrement, tu as essayé de traduire le "théorème sur les primitives" à ta façon... et il en ressort du charabia.
Deuxièmement, je fais une dernière tentative pour te faire comprendre.
Quelle est la différence entre "F est une primitive de f sur l'intervalle I" et "F est dérivable sur I et f est la dérivée de F" ? -
Pour la dernière question, ce n'est pas utile de tergiverser, c'est la règle de L'Hopital, appliquée $k$ fois d'affilée.
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marsup, quand des étudiants appliquent cette règle , c’est souvent de manière fantaisiste...
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Il n'y a pas de différence ça découle de la définition d'une primitive.
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Oshine : Oui, tu as évidemment raison... mais il serait bon de poursuivre le raisonnement. Pourquoi ai-je formulé cette évidence ? Reprends les messages que j'ai écrits et vois comment tu peux (rédiger le tout et) conclure.
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La règle de l'[large]H[/large]ôpital n'est plus au programme apparemment, je n'ai pas vu cette règle dans mon bouquin.
$h_n $ est $C$ infinie donc elle admet un DL d'ordre $n$ d'après Taylor Young. Donc $h_n ^{(k)}$ admet un DL d'ordre $n-k$. Pour remonter à $h_n$ on primitive $k$ fois et on utilise que tout primitive de $h_n ^{(k)}$ s'annule en $0$.
[Guillaume de L'Hôpital (1661-1704) prend toujours une majuscule. AD] -
Quoi ?
Tu es sérieux ???[...] et on utilise que tout (sic) primitive de $h^{(k)}_n$ s'annule en 0.
Tu t'écoutes quand tu dis des âneries aussi énormes ?
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Bonjour!
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