Matrice de projection
Bonjour
Une petite question me turlupine.
On se place dans l'espace euclidien $\mathbb{R} ^n$.
On pose $u=1_{\mathbb{R} ^n}$ et on s’intéresse à la droite vectorielle engendrée par ce vecteur.
Ma question est la suivante. Pourquoi la matrice représentative de cette projection est la suivante (où ${}^t$ représente l'opérateur de transposition) : $$
u (u^tu)^{-1} u^t = \frac{1}{n} \begin{pmatrix}
1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
1 & \cdots & 1
\end{pmatrix}
$$ Merci :-)
Une petite question me turlupine.
On se place dans l'espace euclidien $\mathbb{R} ^n$.
On pose $u=1_{\mathbb{R} ^n}$ et on s’intéresse à la droite vectorielle engendrée par ce vecteur.
Ma question est la suivante. Pourquoi la matrice représentative de cette projection est la suivante (où ${}^t$ représente l'opérateur de transposition) : $$
u (u^tu)^{-1} u^t = \frac{1}{n} \begin{pmatrix}
1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
1 & \cdots & 1
\end{pmatrix}
$$ Merci :-)
Réponses
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Bonjour,
u est l'identité?
Dans ce cas, la formule est étrange... ( le terme de gauche est l'identité..)
Et de quelle projection parle-t-on exactement ? -
Non, u est le vecteur avec que des 1 dedans.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Oui $u$ est le vecteur de $\mathbb{R} ^n$ composé uniquement de $1$ et je parle de la projection orthogonale sur la droite vectorielle engendrée par $u$.
-
Mais je suppose qu'il s'agit de la projection orthogonale sur la droite $\mathbb{R}u$ où $u$ est le vecteur de $\mathbb{R}^{n}$ dont chaque coordonnée vaut 1...
Dans ce cas la projection orthogonale sur $\mathbb{R}u$ est donnée par $p\left(v\right)=\frac{\left(v/u\right)}{\left\Vert u\right\Vert ^{2}}u$, ce qui correspont bien à la matrice de droite... -
... et à celle de gauche
-
Je suppose que ton $u$ est une matrice colonne, pour que $(u^tu)^{-1}=1/n$ ait du sens. Et la matrice $uu^t/n$ represente (dans la base orthonormale canonique de $\R^n$ euclidien canonique) l'application linéaire $x\mapsto \langle v,x\rangle v$ avec $v=u/\sqrt{n}.$ Cette application est la projection orthogonale sur la droite vectorielle engendrée par $u$ car si $w(x)=x-\langle v,x\rangle v$ on a $\langle w(x),v\rangle=0.$
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