Intégration de Lebesgue

Bonjour à tous

Soit $ f $ une fonction intégrable sur $ [a,b] \cup [c,d] $ au sens de Lebesgue.
Est-ce que l'égalité suivante est correcte ? $$
\int_{[a,b] \cap [c,d]} f d \lambda = \int_{[a,b]} f 1_{[c,d]} d \lambda .
$$ Il me semble que oui.
En effet, $$
\int_{[a,b] \cap [c,d] } f d\lambda = \int f 1_{[a,b] \cap [c,d]} d \lambda = \int f 1_{[a,b]} 1_{[c,d]} d \lambda = \int_{[a,b]} f 1_{[c,d] } .
$$ Non ?
Qu'est-ce que vous en pensez ?
Merci d'avance.